Question

5．天文学家发现了一颗太阳系外行星，其半径约为地球的2倍，质量约为地球的6倍，并环绕着一颗红矮星运行，运行周期约为地球绕太阳公转周期的$\frac{1}{200}$，运行半径约为日地距离的$\frac{1}{50}$．设该行星表面的重力加速度为g₁，地球表面重力加速度为g₂，该红矮星的质量为M₁，太阳质量为M₂．假定该行星和地球均做匀速圆周运动，且不考虑自转．则：
（1）g₁和g₂的比值约为多少？
（2）M₁和M₂的比值约为多少？

Answer 1

分析 （1）在星球表面重力与万有引力相等求得重力加速度的表达式，由表达式根据星球半径与地球半径质量与地球质量的关系求得重力加速度的比值即可；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求得中心球体的质量与环绕天体的半径和周期的关系求解中心天体的质量关系．

解答 解：设行星的质量和半径分别为m₁、R₁，地球的质量和半径分别为m₂、R₂；行星绕红矮星运动的轨道半径和周期分别为r₁、T₁，地球绕太阳公转的半径和周期分别为r₂、T₂．
（1）在星球表面重力与万有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，可得星球表面重力加速度$g=\frac{GM}{R}$
所以$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{G\frac{{m}_{1}}{{R}_{1}^{2}}}{G\frac{{m}_{2}}{{R}_{2}^{2}}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}•（\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}）^{2}$=$\frac{6}{1}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{2}$
（2）环绕天体围绕中心天体圆周运动时万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得中心天体质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
所以有：$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}}{\frac{4{π}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}}=（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}•（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）^{2}$=$（\frac{\frac{1}{50}}{1}）^{3}×（\frac{1}{\frac{1}{200}}）^{2}$=$\frac{8}{25}$
答：（1）g₁和g₂的比值约为3：2；
（2）M₁和M₂的比值约为8：25．

点评 万有引力的应用主要成以下两方面入手：一是不考虑星球自转的情况下万有引力与星球表面的重力大小相等；二是万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力．