Question

（25分）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯和包层组成，的折射率小于的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯和包层的分界面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体的折射率．实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体中．令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心，经端面折射进入光纤，在光纤中传播．由点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为，如图1所示．最后光从另一端面出射进入流体．在距出射端面处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏，在上出现一圆形光斑，测出其直径为，然后移动光屏至距光纤出射端面处，再测出圆形光斑的直径，如图2所示．

1．若已知和的折射率分别为与，求被测流体的折射率的表达式．

2．若、和均为未知量，如何通过进一步的实验以测出的值？

Answer 1

解析：

1．由于光纤内所有光线都从轴上的点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图1为纵剖面内的光路图，设由点发出的与轴的夹角为的光线，射至、分界面的入射角为，反射角也为．该光线在光纤中多次反射时的入射角均为，射至出射端面时的入射角为．若该光线折射后的折射角为，则由几何关系和折射定律可得

                                         （1）

                                   （2）

当大于全反射临界角时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面，而的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了．因而能射向出射端面的光线的的数值一定大于或等于，的值由下式决定

                                        （3）

与对应的值为

                                        （4）

当时，即时，或时，由发出的光束中，只有的光线才满足的条件，才能射向端面，此时出射端面处的最大值为

                                  （5）

若，即时，则由发出的光线都能满足的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处的最大值为

                                           （6）

端面处入射角最大时，折射角也达最大值，设为，由（2）式可知

                               （7）

由（6）、（7）式可得，当时

                                        （8）

由（3）至（7）式可得，当时

                             （9）

的数值可由图2上的几何关系求得

                   （10）

于是的表达式应为

    （）       （11）

  （）       （12）

2. 可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得、、、，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同．已知空气的折射率等于1，故有

当时                  （13）

当时                 （14）

将（11）、（12）两式分别与（13）、（14）相除，均得

           （15）

这结果适用于为任何值的情况。

评分标准：本题25分

1. 18分。（8）式、（9）式各6分，求得（11）式、（12）式再各给3分

2. 7分。（13）式、（14）式各2分，求得（15）式再给3分。如果利用已知其折射率的液体代替空气，结果正确，照样给分。