Question

8．如图，P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO'转动，长度为l的缆绳一端悬挂在转盘边缘，另一端栓接一质量为m的小球，转盘静止时缆绳顶端与转轴间的距离为d，现让转盘由静止逐渐加速转动，经过一段时间后小球与转盘一起做匀速圆周运动，且缆绳与转轴在同一竖直面内．此时缆绳与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力及缆绳重力，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　）

• A． 小球与转盘一起做匀速圆周运动时，小球受到缆绳的拉力大小为mgcosθ
• B． 小球从静止到做匀速圆周运动的过程中，缆绳对小球做的功为$\frac{1}{2}$mgdtanθ
• C． 小球从静止到做匀速圆周运动的过程中，缆绳对小球做的功为$\frac{1}{2}$mg（d+lsinθ）tanθ+mgl（1+cosθ）
• D． 如果圆盘稳定转动时的角速度不变，换一个质量更大的小球随其转动，稳定时缆绳与竖直方向的夹角θ不变

Answer 1

分析 质点与转盘一起做匀速圆周运动时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求小球受到缆绳的拉力和小球的速度，再根据动能定理研究质点从静止到做匀速圆周运动的过程中，得到绳子对小球做的功．由角速度的表达式分析缆绳与竖直方向的夹角θ与小球质量的关系．

解答 解：A、小球与转盘一起做匀速圆周运动时，由重力和绳子的拉力的合力提供质点圆周运动的向心力，如图，则小球受到缆绳的拉力大小为 T=$\frac{mg}{cosθ}$，故A错误．
BC、设小球做匀速圆周运动时速度大小为v，则有
   mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{d+lsinθ}$
对于小球从静止到做匀速圆周运动的过程中，重力做功为-mgl（1-cosθ），设绳子拉力做功为W，则根据动能定理得：
  W-mgl（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立①②得：W=$\frac{1}{2}$mg（d+lsinθ）tanθ+mgl（1-cosθ）．故B、C错误．
D、由v=ω（d+lsinθ）及mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{d+lsinθ}$得ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{（d+lsinθ）}}$，可知，ω与小球的质量无关，所以如果圆盘稳定转动时的角速度不变，换一个质量更大的小球随其转动，稳定时缆绳与竖直方向的夹角θ不变，故D正确．
故选：D

点评 本题中小球从静止到做匀速圆周运动的过程中，绳子拉力是变力，要首先考虑运用动能定理求解变力的功．要知道小球与转盘一起做匀速圆周运动时，由重力和绳子的拉力的合力提供质点圆周运动的向心力．