Question

11．如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块．求
（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
（2）当ω=ω₀，且其受到的摩擦力为零时，求筒转动的角速度；
（3）请分析当ω=（1+k）ω₀与ω=（1-k）ω₀时，且0＜k＜1，小物体均处于静止状态，求小物体分别受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）物体受重力、支持力和静摩擦力，根据平衡条件求解静摩擦力和支持力；
（2）物体受重力和支持力，合力提供向心力，根据平行四边形定则求解出合力，根据向心力公式列式求解筒转动的角速度；
（3）如果物体的角速度ω=（1+k）ω₀，物体相对斜面有上滑趋势，静摩擦力平行斜面向下，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解静摩擦力；
如果物体的角速度ω=（1-k）ω₀，物体相对斜面有下滑趋势，静摩擦力平行斜面向上，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解静摩擦力．

解答 解：（1）物体受重力、支持力和静摩擦力，设斜面坡角为θ，根据平衡条件，有：
N=mgcosθ=$\frac{mgR}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$
f=mgsinθ=$\frac{mgH}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，故：

mgtanθ=m${ω}_{0}^{2}r$
其中：
tanθ=$\frac{H}{R}$
r=$\frac{R}{2}$
联立解得：
ω₀=$\frac{\sqrt{2gH}}{R}$
（3）如果物体的角速度ω=（1+k）ω₀，物体相对斜面有上滑趋势，静摩擦力平行斜面向下，合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：

竖直方向：Ncosθ=mg+fsinθ
水平方向：Nsinθ+fcosθ=mω²r
其中：r=$\frac{R}{2}$
解得：
f=mω²rtanθ-mgsinθ=$m（1+k）^{2}{ω}_{0}^{2}\frac{{R}^{2}}{2\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$-mg$\frac{H}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$
如果物体的角速度ω=（1-k）ω₀，物体相对斜面有下滑趋势，静摩擦力平行斜面向上，合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
竖直方向：Ncosθ=mg-fsinθ
水平方向：Nsinθ-fcosθ=mω²r
其中：r=$\frac{R}{2}$
解得：
f=-mω²rtanθ+mgsinθ=-$m{（1-k）}^{2}{ω}_{0}^{2}\frac{{R}^{2}}{2\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$+mg$\frac{H}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$
答：（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力为$\frac{mgH}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$，支持力的大小为$\frac{mgR}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$；
（2）当ω=ω₀，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度为$\frac{\sqrt{2gH}}{R}$；
（3）当ω=（1+k）ω₀时，小物体处于静止状态，小物体受到的摩擦力大小为$m（1+k）^{2}{ω}_{0}^{2}\frac{{R}^{2}}{2\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$-mg$\frac{H}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$，方向平行斜面向下．
当ω=（1-k）ω₀时，小物体处于静止状态，小物体受到的摩擦力大小为-$m{（1-k）}^{2}{ω}_{0}^{2}\frac{{R}^{2}}{2\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$+mg，方向平行斜面向上．

点评 本题是圆锥摆类型．明确匀速圆周运动中是指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的运用，关键是受力分析后根据牛顿第二定律列方程求解．