Question

如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？当角速度为3 rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧．当ω逐渐增大到30°时，BC才被拉直(这是一个临界状态)，但BC绳中的张力仍然为零．设这时的角速度为ω₁，则有：

T_ACcos30°＝mg

T_ACsin30°＝mLsin30°

　　将已知条件代入上式解得ω₁＝2.4 rad/s．

　　(2)当角速度ω继续增大时T_AC减小，T_BC增大．设角速度达到ω₂时，T_AC＝0(这又是一个临界状态)，则有：

T_BCcos45°＝mg

T_BCsin45°＝mLsin30°

　　将已知条件代入上式解得　　ω₂＝3.16 rad/s

　　所以，当ω满足2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s，AC、BC两绳始终张紧．

　　本题所给条件ω＝3 rad/s，此时两绳拉力T_AC、T_BC都存在．

T_ACsin30°＋T_BCsin45°＝mω²Lsin30°

T_ACcos30°＋T_BCcos45°＝mg

　　将数据代入上面两式解得T_AC＝0.27 N，T_BC＝1.09 N．

　　评析：解题时注意圆心的位置(半径的大小)．

　　如果ω＜2.4 rad/s时，T_BC＝0，AC与轴的夹角小于30°．

　　如果ω＞3.16 rad/s时，T_AC＝0，BC与轴的夹角大于45°．