Question

不同的人造地球卫星它们的轨道是不同的，有一种人造地球卫星它们的轨道平面与地球的赤道平面重合，这类卫星称为赤道轨道卫星．赤道卫星绕地球的运动可看成是匀速圆周运动．有一颗赤道卫星，测得其距离地球表面高度为h，其运转方向与地球的自转的方向相同．地球自转的角速度为ω₀，地球的半径为R，地球的第一宇宙速度为v．在某时刻该赤道轨道卫星正好通过地球赤道上某一建筑物的正上方，求：
（1）该赤道轨道卫星的角速度，线速度，周期；
（2）该赤道轨道卫星下次通过该建筑物上方所需的时间．

Answer 1

分析：（1）通过运用万有引力提供向心力，该赤道轨道卫星的角速度，线速度，周期即可求得．
（2）该赤道轨道卫星下次通过该建筑物上方所需的时间需要分卫星低于或高于同步卫星两种情况进行求解．

解答：解：（1）用ω表示卫星的角速度，用m、M分别表示卫星及地球的质量，万有引力提供向心力：
G

Mm

(R+h)2

=m(R+h)ω²   ①
在天体的表面有：
G

Mm

R2

=m

v2

R

   ②
联立①②解得ω=

v

(R+h)

R R+h

线速度v′=v

R R+h

则周期T=

2π(R+h)

v′

=

2π(R+h)

v

R+h R

（2）若ω＞ω₀，即卫星低于同步卫星的高度，用t表示所需的时间，则有：
（ω-ω₀）t=2π
所以t=

2π

ω-ω0

=

2π

v R+h R R+h -ω0

若ω＜ω₀，即卫星高于同步卫星的高度，用t表示所需的时间，则有：
（ω₀-ω）t=2π
所以t=

2π

ω0-ω

=

2π

ω0- v R+h R R+h

答：（1）该赤道轨道卫星的线速度是v

R R+h

，角速度为

v

R+h

R R+h

，周期为

2π(R+h)

v

R+h R

；
（2）当卫星低于同步卫星的高度，用t表示所需的时间为

2π

v R+h R R+h -ω0

；
当卫星高于同步卫星的高度，用t表示所需的时间为

2π

ω0- v R+h R R+h

．

点评：解答此题的关键是找出卫星与同步卫星高度的关系，分两种情况进行分析计算即可．