Question

【题目】科技馆有一套儿童喜爱的机械装置，其结构简图如下：传动带AB部分水平，其长度L=1.2m，传送带以3m/s的速度顺时针匀速转动，大皮带轮半径r=0.4m，其下端C点与圆弧轨道DEF的D点在同一水平线上，E点为圆弧轨道的最低点，圆弧EF对应的圆心角且圆弧的半径R=0.5m，F点和倾斜传送带GH的下端G点平滑连接，倾斜传送带GH长为x=4.45m，其倾角。某同学将一质量为0.5kg且可以视为质点的物块静止放在水平传送带左端A处，物块经过B点后恰能无碰撞地从D点进入圆弧轨道部分，当经过F点时，圆弧给物块的摩擦力f=14.5N，然后物块滑上倾斜传送带GH。已知物块与所有的接触面间的动摩擦因数均为，重力加速度，,,，求：

（1）物块由A到B所经历的时间；

（2）DE弧对应的圆心角为多少；

（3）若要物块能被送到H端，倾斜传动带顺时针运转的速度应满足的条件及物块从G到H端所用时间的取值范围。

Answer 1

【答案】(1)0.7s (2) (3),

【解析】

（1）物体在水平传送带上，由牛顿第二定律得：

所以：

物体加速到3m/s的时间：

在加速阶段的位移：

物体做匀速直线运动的时间：

物块由A到B所经历的时间：t=t1+t2=0.7s

(2)若物体能在B点恰好离开传送带做平抛运动，则满足：

所以：

所以物体能够在B点离开传送带做平抛运动，平抛的时间：

解得：

到达D点时物体沿竖直方向的分速度：

到达D点时物体的速度与水平方向之间的夹角：

所以：α=530

即DE弧对应的圆心角α为530

（3）当经过F点时，圆弧给物块的摩擦力f=14.5N，所以物体在F点受到的支持力：

物体在F点时，支持力与重力的分力提供向心力得：

代入数据得：v3=5m/s

物体在倾斜的传动带上受到重力、支持力和滑动摩擦力的作用，滑动摩擦力：

f′=μmgcos370=2N

重力沿斜面向下的分力：Fx=mgsin370=3N>f′

可知物体不可能相对于传动带静止，所以物体在传送带上将一直做减速运动，物体恰好到达H点时速度为0.

Ⅰ、若传送带的速度大于等于物体在F点的速度，则物体受到的摩擦力的方向向上，物体一直以不变的加速度向上做减速运动；此时：Fx-f′=ma3

解得：a3=2m/s2

物体的位移为：

代入数据解得：t′=1.16s（或t′=3.84s不合题意）

Ⅱ、若传送带的速度小于物体在F点的速度，则物体先相对于传送带向上运动，受到的摩擦力的方向向下；当物体的速度小于传送带的速度后，受到的摩擦力方向向上，物体继续向上做减速运动，速度的大小发生变化。

设物体恰好能到达H点时，传送带的速度是vmin，且vmin<v3，物体到达H点的速度为0.

物体的速度大于传送带的速度时，物体受到的摩擦力的方向向下，此时：

Fx+f′=ma2，则a2=10m/s2

物体的速度小于传送带的速度时，物体受到的摩擦力方向向上，则：

Fx-f′=ma3，则a3=2m/s2

物体向上的减速运动若过来看，也可以是向下的加速运动，初速度为0，末速度为v3，设下面的一段时间为t4，上面的一段时间为t5，可得：，，

联立以上三式，代入数据得：t4=0.1s，t5=2.0s，vmin=4m/s

物体从F点运动到H点的总时间：

综合以上的分析可知，若要物体能都到达H点，传送带的速度应满足：vmin≥4m/s ，物体运动的时间范围是： 1.16s≤t≤2.1s