Question

13．如图所示，一个折射率为$\frac{4}{3}$的三棱镜的截面为等腰直角△ABC，∠A为直角．此截面所在平面内的一束光线沿与AB边成θ角（θ＜90°）的方向入射到AB边的中点P处．若要光线进入三棱镜后能射到AC边上且能在AC面上发生全反射，则cosθ应满足什么条件？

Answer 1

分析 由折射定律得到光线在AB上的折射角，全反射可得出临界角与折射率的关系．根据题设的两个条件：一是光线能射到AC面上，得到入射角正弦的范围；二是光线在AC面上发生全反射，则光线在AC面上的入射角β≥C，由几何关系得到AB面上的折射角与入射角β的关系，联立可求解

解答 解：光由空气射向三棱镜，在AB边上发生折射，折射角为α，由折射定律得：$\frac{sin（90°-θ）}{sinα}$=n
当光由三棱镜射向空气，临界角为C时，发生全反射，所以 sinC=$\frac{1}{n}$
①要使光线能入射到AC边上，由几何关系
  sinα≥$\frac{1}{\sqrt{5}}$
联立解得：cosθ≥$\frac{4\sqrt{5}}{15}$；
②要使光线能在AC面上发生全反射，应有β≥C
由几何关系 α+β=90°
联立解得：cosθ≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$
综上可得：$\frac{4\sqrt{5}}{15}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$
答：若要光线进入三棱镜后能射到AC边上且能在AC面上发生全反射，则cosθ应满足$\frac{4\sqrt{5}}{15}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

点评 解答本题的关键在于利用几何关系找出入射角、折射角和它们之间的关系，由折射定律可列出方程求解．