Question

12．月球绕其“月轴”自转的周期与其绕地球公转的周期相同均为T．设想我国发射的质量为m的月球探测车“玉兔”在月球赤道处所受的“重力”为G₁，万有引力常量为G，月球的半径为R．求：
（1）月球的质量．
（2）若在月球上发射一颗近月卫星，发射速度至少是多少？

Answer 1

分析 （1）月球上的物体随地球自转，做圆周运动需要的向心力由万有引力的一个分力提供，万有有引力的另一个分力是重力，据此列式求解月球质量；
（2）根据质量为m的月球探测车“玉兔”在月球赤道处所受的“重力”为G₁，求出月球表面重力加速度，再根据v=$\sqrt{gR}$求解．

解答 解：（1）在月球赤道处的物体随月球一起自转，根据合力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-{G}_{1}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}+\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{m}$
（2）质量为m的月球探测车“玉兔”在月球赤道处所受的“重力”为G₁，则月球表面重力加速度g=$\frac{{G}_{1}}{{m}_{1}}$，
则在月球上发射一颗近月卫星，发射速度至少为v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{G}_{1}R}{{m}_{1}}}$．
答：（1）月球的质量为$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}+\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{m}$．
（2）若在月球上发射一颗近月卫星，发射速度至少是$\sqrt{\frac{{G}_{1}R}{{m}_{1}}}$．

点评 解决本题的关键要知道向心力的来源，知道万有引力的一个分力提供向心力，万有引力的另一个分力是重力，难度适中．