Question

17．已知一单摆在地面处的摆动周期为T₀，设地球的半径为R，假定地球的密度均匀，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求该单摆在深度为d的矿井底部的摆动周期．

Answer 1

分析 根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，矿井深度为d的井底的加速度相当于半径为R-d的球体在其表面产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，从而得出重力加速度之比，根据周期公式得出周期之比，求出单摆在深度为d的矿井底部的摆动周期．

解答 解：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，由于地球的质量为：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以重力加速度的表达式可写成：
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}=\frac{4}{3}GρπR$
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=$\frac{4}{3}Gρπ（R-d）$
所以$\frac{g′}{g}=\frac{R-d}{R}$．
根据T=$2π\sqrt{\frac{L}{g}}$知，$\frac{T′}{{T}_{0}}=\sqrt{\frac{g}{g′}}=\sqrt{\frac{R}{R-d}}$，
所以$T′=\sqrt{\frac{R}{R-d}}{T}_{0}$．
答：单摆在深度为d的矿井底部的摆动周期为$\sqrt{\frac{R}{R-d}}{T}_{0}$．

点评 解决本题的关键得出重力加速度之比，从而通过周期公式进行求解，难度中等．