Question

12．如图所示，半径为R=1.5m的光滑圆弧支架竖直放置，圆心角θ=60°，支架的底部CD离地面足够高，圆心O在C点的正上方，右侧边缘P点固定一个光滑小轮，可视为质点的小球A、B分别系在足够长的跨过小轮的轻绳两端，两球的质量分别为m_A=0.3kg、m_B=0.1kg．将A球从紧靠小轮处由静止释放，求：
（1）当A球运动到C点时，两球组成系统的重力势能的变化量；
（2）A球运动到C点时的速度大小；
（3）若A球运动到C点时轻绳突然断裂，从此时开始，需经过多少时间两球重力功率的大小相等？

Answer 1

分析 （1）根据重力做功与重力势能变化的关系求出AB两球重力势能的变化量，从而求出两球组成系统的重力势能的变化量；
（2）根据几何关系求出到达C点时AB两球的速度关系，再根据系统机械能守恒列式求解即可；
（3）轻绳断裂后，A球平抛，B球竖直上抛，设经过时间t两球重力功率大小相等，根据功率公式列式求解．

解答 解：（1）根据重力做功与重力势能变化的关系得：
A球重力势能变化量为：△E_PA=-m_Agh_A=-0.3×10×1.5×（1-cos60°）=-2.25J，
B球重力势能变化量为：△E_PB=m_BgR=0.1×10×1.5=1.5J，
两球组成系统的重力势能的变化量为：△E_p=△E_PA+△E_PB=-0.75J，
即系统重力势能减少0.75J，
（2）系统机械能守恒：$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}+△{E}_{P}=0$，
根据几何关系得：v_Acos30°=v_B，
联立解得：v_A=2m/s，
（3）轻绳断裂后，A球平抛，B球竖直上抛，B球上抛初速度为：${{v}_{B}=v}_{A}cos30°=\sqrt{3}m/s$，
设经过时间t两球重力功率大小相等，则有：m_Ag•（gt）=m_Bg•|（v_B-gt）|，
解得：t=$\frac{\sqrt{3}}{40}$s         
答：（1）当A球运动到C点时，两球组成系统的重力势能减少0.75J；
（2）A球运动到C点时的速度大小为2m/s；
（3）若A球运动到C点时轻绳突然断裂，从此时开始，需经过$\frac{\sqrt{3}}{40}$s时间两球重力功率的大小相等．

点评 解决本题的关键掌握功能关系，知道重力做功等于重力势能的减小量，要知道AB两球通过绳子连接在一起，则沿着绳子方向的速度相等，明确轻绳断裂后，A球平抛，B球竖直上抛，难度适中．