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7.如图所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m的环,环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d.杆上的A点与定滑轮等高,杆上的B点在A点下方距离为d处.现将环从A处由静止释放,不计一切摩擦阻力,下列说法正确的是(  )
A.环到达B处时,重物上升的高度h=($\sqrt{2}$-1)d
B.环到达B处时,环与重物的速度大小相等
C.环从A到B,环减少的机械能等于重物增加的机械能
D.环能下降的最大高度为$\frac{4}{3}$d

分析 环刚开始释放时,重物由静止开始加速.根据数学几何关系求出环到达B处时,重物上升的高度.对B的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解,在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度,从而求出环在B处速度与重物的速度之比.环和重物组成的系统机械能是守恒的.

解答 解:A、根据几何关系有,环从A下滑至B点时,下降的高度为 d,则重物上升的高度h=$\sqrt{2}$d-d=($\sqrt{2}$-1)d,故A正确;
B、环到达B处时,对环B的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解,在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度,有:vcos45°=v,所以有v=$\sqrt{2}$v,故B错误;
C、环下滑过程中无摩擦力做功,故系统机械能守恒,即有环减小的机械能等于重物增加的机械能,故C正确;
D、设环下滑到最大高度为h时环和重物的速度均为0,此时重物上升的最大高度为$\sqrt{{h}^{2}+{d}^{2}}$-d,根据系统的机械能守恒有:mgh=2mg($\sqrt{{h}^{2}{+d}^{2}}$-d)
解得:h=$\frac{4}{3}$d,故D正确.
故选:ACD.

点评 解决本题的关键知道系统机械能守恒,知道环沿绳子方向的分速度的等于重物的速度.

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