Question

12．如图所示为某种弹射装置的示意图，光滑的水平导轨MN右端N处与水平传送带理想连接，传送带长L=4.0m，电动机带动皮带轮沿顺时针方向转动，传送带以速率v=3.0m/s匀速运动．质量为m=1.0kg的滑块置于水平轨道上，将滑块向左移动压缩弹簧，后由静止释放滑块，滑块脱离弹簧后以速度v₀=2.0m/s滑上传送带，并从传送带右端滑落至地面上的P点．已知滑块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.20，g=10m/s²．
（1）如果水平传送带距地面的高度为h=0.2m，求滑块从传送带右端滑出点到落地点的水平距离是多少？
（2）如果改变弹簧的压缩量，重复以上的实验，要使滑块总能落至P点，则弹簧弹性势能的最大值是多少？在传送带上最多能产生多少热量？

Answer 1

分析 （1）滑块在传送带上先做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求出加速度，然后应用匀变速直线运动规律求出滑块与传送带速度相等时滑块通过的位移，判断滑块运动状态，从而确定滑动离开传送带时的速度．再由平抛运动的规律求解平抛运动的水平距离．
（2）要使滑块总能落至P点，滑块离开传送带的速度应不变，对照上题分析滑块被弹出的最大速度，再由能量守恒求弹簧弹性势能的最大值．由相对位移求摩擦生热．

解答 解：（1）滑块滑上传送带后做匀加速运动，设滑块从滑上传送带到速度达到传送带的速度v时所用的时间为t，加速度大小为a，在时间t内滑块的位移为x．
由牛顿第二定律得：μmg=ma，a=μg=2m/s²
由运动学公式得：v=v₀+at，得 t=$\frac{v-{v}_{0}}{a}$=$\frac{3-2}{2}$=0.5s
x=v₀t+$\frac{1}{2}$at²=2×0.5+$\frac{1}{2}$×2×0.5²=1.25m，x=1.25m＜L，
所以滑块在传送带上先匀加速，达到传送带的速度v后随传送带匀速运动，
并从右端滑出，则滑块从传送带右端滑出时的速度为 v=3.0m/s．
滑块离开传送带后做平抛运动，则有
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  s=vt
解得 s=0.6m
（2）要使滑块总能落至P点，滑块被弹簧弹出的速度有最大值时，它减速运动到传送带右端时，速度应当恰好等于传递带的速度v．
设滑块的最大速度为v′，滑块在传送带上做匀减速运动的末速度为v=3m/s，加速度大小为2m/s²
由匀变速直线运动的速度位移公式得：v^2_v′²=2（-a）L，解得：v′=5m/s
故弹簧弹性势能的最大值是 E_p=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{5}^{2}$=12.5J
在这种情况下滑块与传送带的相对路程最大，产生的热量最多，设相对路程为L′．
则 L′=L-v$\frac{v′-v}{a}$=1m
在传送带上最多热量为 Q=μmgL′=0.2×1×10×1J=2J
答：
（1）滑块从传送带右端滑出点到落地点的水平距离是0.6m．
（2）弹簧弹性势能的最大值是 12.5J，在传送带上最多热量为8J．

点评 本题着重要正确分析滑块在传送带上的运动情况，要通过计算进行分析，同时要抓住能量是如何转化的，知道弹簧弹性势能取得最大的条件．