Question

12．如图所示，x轴上方有竖直向下的匀强电场，x轴下方有垂直纸面向外的匀强磁场．矩形OACD的边长分别为h和2h一个带正电的粒子，质量为m电荷量为q，以平行于x轴的某一初速度从A点射出，经t₀时间粒子从D点进入磁场，再经过一段时间后粒子又一次经过A点（重力忽略不计）．求：
（1）电场强度大小E；
（2）磁感应强度大小B；
（3）若仅改变粒子初速度的大小，求粒子以最短时间由A运动到C所需的初速度大小v_x．

Answer 1

分析 （1）带电粒子进入电场中做类平抛运动，根据水平位移和初速度求出运动的时间，根据牛顿第二定律和位移时间公式求出电场强度的大小．
（2）根据粒子的速度方向，结合半径公式和几何关系求出磁感应强度的大小．
（3）粒子出磁场后运动到离x轴最大距离处时竖直速度为零，看作反向的平抛运动，根据周期公式求出粒子在磁场中运动的时间，以及粒子在电场中做类平抛运动的时间，从而得出总时间．

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，由h=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$ ①

得 a=$\frac{2h}{{t}_{0}^{2}}$
又 qE=ma ②
可得 E=$\frac{ma}{q}$=$\frac{2mh}{q{t}_{0}^{2}}$ ③
（2）由v_x=$\frac{2h}{{t}_{0}}$，v_y=at₀=$\frac{2h}{{t}_{0}^{2}}$•t₀=v_x，得
粒子进入磁场时的速度大小 v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}h}{{t}_{0}}$ ④
由R=$\frac{mv}{qB}$，得：$\frac{2\sqrt{2}mh}{qB{t}_{0}}$=2$\sqrt{2}$h ⑤
解得 B=$\frac{m}{q{t}_{0}}$ ⑥
（3）设速度大小为v_x，运动轨迹与x轴交点处速度方向与x轴夹角为θ，

第一次与x轴相交时，v_y=$\frac{2h}{{t}_{0}}$，合速度为v，交点坐标为 x₂=v_xt₀．
sinθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$ ⑦
又 R=$\frac{mv}{qB}$=vt₀，⑧
得Rsinθ=vt₀•$\frac{2h}{v{t}_{0}}$=2h，与初速度大小无关． ⑨
运动轨迹与x轴另一交点坐标为
  x₁=x₂-2Rsinθ=v_xt₀-4h
根据对称性 x₁=-h，x₂=3h （10）
粒子以最短时间由A运动到C所需的初速度大小 v_x=$\frac{3h}{{t}_{0}}$
答：
（1）电场强度大小E为$\frac{2mh}{q{t}_{0}^{2}}$；
（2）磁感应强度大小B为$\frac{m}{q{t}_{0}}$；
（3）若仅改变粒子初速度的大小，粒子以最短时间由A运动到C所需的初速度大小v_x为$\frac{3h}{{t}_{0}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹，应用类平抛运动知识、牛顿第二定律、几何知识即可正确解题．