Question

13．当把一质量为m的物体放置在斜面上时物体不能静止而要下滑，现用一弹簧水平拉住物体，使物体静止在斜面上不动．已知弹簧的劲度系数为k，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为θ，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求弹簧的形变量的取值范围．

Answer 1

分析 对小球受力分析，分小球刚好不下滑时和小球刚好不上滑时两种情况，根据力的平衡条件建立方程可得弹簧的形变量的取值范围．

解答 解：对小球受力分析，小球受重力、支持力、弹簧的弹力和斜面对小球的静摩擦力，
当小球刚好不下滑时，即最大静摩擦力沿斜面向上，此时形变量最小，如图示：

根据力的平衡条件可得：mgsinθ=kx_mincosθ+μ（mgcosθ+kx_minsinθ）
解得：x_min=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）}{kcosθ+μksinθ}$；
当小球刚好不上滑时，即最大静摩擦力沿斜面向下，此时形变量最大，如图示：

根据力的平衡条件可得：mgsinθ+μ（mgcosθ+kx_maxsinθ）=kx_maxcosθ
解得：x_max=$\frac{mg（sinθ+μcosθ）}{kcosθ-μksinθ}$；
所以弹簧的形变量的取值范围是：$\frac{mg（sinθ-μcosθ）}{kcosθ+μksinθ}$≤x≤$\frac{mg（sinθ+μcosθ）}{kcosθ-μksinθ}$．
答：弹簧的形变量的取值范围是：$\frac{mg（sinθ-μcosθ）}{kcosθ+μksinθ}$≤x≤$\frac{mg（sinθ+μcosθ）}{kcosθ-μksinθ}$．

点评 本题关键找出即将要向上滑动和即将要向下滑动的两个临界状态，对物体受力分析，根据共点力平衡条件，列出方程求解．