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7.如图所示,由导线制成的正方形线框边长L,每条边的电阻均为R,其中ab边材料较粗且电阻率较大,其质量为m,其余各边的质量均可忽略不计.线框可绕与cd边重合的水平轴OO′自由转动,不计空气阻力及摩擦.若线框始终处在方向竖直向下、磁感强度为B的匀强磁场中,线框从水平位置由静止释放,历时t到达竖直位置,此时ab边的速度为v,重力加速度为g.求:
(1)线框在竖直位置时,ab边两端的电压及其所受安培力的大小.
(2)这一过程中感应电动势的有效值.
(3)在这一过程中,通过线框导线横截面的电荷量.

分析 (1)根据切割产生的感应电动势公式求出电动势,根据闭合电路欧姆定律求出ab两端的电压,以及电流的大小,通过安培力大小公式求出安培力的大小.
(2)根据能量守恒定律求出整个过程中的热量,抓住克服克服力做功等于产生的热量求出感应电流做的功,以及通过热量的公式求出感应电动势的有效值.
(3)根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律求出平均电流,从而求出通过线框导线横截面的电荷量.

解答 解:(1)ab边切割磁感线产生感应电动势为E=BLv,
线框中的电流为I=$\frac{E}{4R}$,
ab两端的电压为Uab=I•3R=$\frac{3}{4}$BLv
ab边所受安培力为F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4R}$.      
(2)线框下落过程中机械能的减少等于线框中产生的焦耳热,
所以有mgL-$\frac{1}{2}$mv2=Q,
又因Q=($\frac{E}{4R}$)2(4R)t,
解得:E=2$\sqrt{\frac{(mgL-\frac{1}{2}m{v}^{2})R}{t}}$.      
(3)对于线框的下摆过程,垂直磁场线框的面积变化为△S=L2
线框中的平均感应电动势为$\overline{E}$$\frac{△∅}{△t}$,线框中的平均电流$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{4R}$=$\frac{B{L}^{2}}{4Rt}$.    
通过线框导线横截面的电荷量:q=$\overline{I}t$=$\frac{B{L}^{2}}{4R}$;      
答:(1)线框在竖直位置时,ab边两端的电压及其所受安培力的大小$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4R}$.
(2)这一过程中感应电动势的有效值2$\sqrt{\frac{(mgL-\frac{1}{2}m{v}^{2})R}{t}}$.
(3)在这一过程中,通过线框导线横截面的电荷量$\frac{B{L}^{2}}{4R}$.

点评 解决本题的关键掌握瞬时感应电动势和平均感应电动势的求法,以及知道它们的区别.

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