Question

4．某高速公路的一个出口路段如图所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点（通过B点前后速率不变），再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到D点停下．已知轿车在A点的速度v₀=72km/h，AB长L₁=l50m；BC为四分之一水平圆弧段，限速（允许通过的最大速度）v=36km/h，轮胎与BC段路面间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段长L₂=50m，重力加速度g取l0m/s²．
（1）若轿车到达B点速度刚好为v=36km/h，求轿车在AB下坡段加速度的大小；
（2）为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值；
（3）轿车A点到D点全程的最短时间．

Answer 1

分析 （1）轿车在AB段做匀减速直线运动，已知初速度、位移和末速度，根据速度位移关系公式求解加速度．
（2）轿车在BC段做匀速圆周运动，由静摩擦力充当向心力，为保证行车安全，车轮不打滑，所需要的向心力不大于最大静摩擦力，据此列式求解半径R的最小值．
分三段，分别由运动学公式求解时间，即可得到总时间

解答 解：（1）v₀=72km/h=20m/s，AB长L₁=l50m，v=36km/h=10m/s，对AB段匀减速直线运动有
v²$-{v}_{0}^{2}$=-2aL₁   
 代入数据解得   a=1m/s²     　　　　　　
（2）汽车在BC段做圆周运动，静摩擦力提供向心力，
${F_f}=m\frac{v^2}{R}$
为了确保安全，则须满足  F_f≤μmg
联立解得：R≥20m，即：R_min=20m　　　
（3）设AB段时间为t₁，BC段时间为t₂，CD段时间为t₃，全程所用最短时间为t．
L₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$      
$\frac{1}{2}π$R=vt₂
L₂=$\frac{v}{2}{t}_{3}$
t=t₁+t₂+t₃        
解得：t=23.14 s  
答：（1）若轿车到达B点速度刚好为v=36km/h，轿车在AB下坡段加速度的大小为1m/s²；
（2）为保证行车安全，车轮不打滑，水平圆弧段BC半径R的最小值为20m；
（3）轿车A点到D点全程的最短时间为23.14 s．

点评 本题是运动学与动力学综合题，能结合物体的运动情况，灵活选择运动学的公式形式是关键，当不涉及加速度而要求时间时，可用位移等于平均速度乘以时间来求．