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    14．轻质弹簧原长为2R，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为2m的物体静止释放，当弹簧被压缩到最短时，其长度为R．现将弹簧一端固定在倾角为30°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为$\sqrt{3}$R的光滑圆弧轨道相切于C点，BC=5R，A、B、C、D位于同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，将弹簧压缩至最短时到达E点（图中未画出），此时弹簧长度为R，重力加速度大小为g．
    （1）求物块P与直轨道间的动摩擦因数μ．
    （2）求物块P被弹簧弹回时到达的最高点离C点的距离d．
    （3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P能够到达圆弧轨道，且在圆弧轨道上运动时始终不脱离轨道，试确定P的质量的取值范围．

    分析 （1）对物块从C到E的过程分析，由能量守恒定律列式，可求得物体与斜面间的动摩擦因数；
    （2）物块P被弹簧弹回过程，再由能量守恒定律求最高点离C点的距离d；
    （3）要使在圆弧轨道上运动时始终不脱离轨道，分两类情况，一种是不超过与轨道圆心等高的高度，一种能到达最高点，然后根据临界条件和能量守恒定律解答．

    解答 解：（1）将弹簧竖直放置在地面上，物块放在弹簧上，弹簧被压缩到最短时，弹性势能为 Ep=2mgR
    将质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，将弹簧压缩至最短时到达E点时，根据能量守恒定律得
       Ep+μmgcos30°•6R=mgsin30°•6R
    联立解得 μ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$
    （2）物块P被弹簧弹回过程，由能量守恒定律得
       Ep=μmgcos30°•L+mgsin30°•L
    又 d=6R-L
    解得 d=3R
    （3）设P的质量为km．分两种情况：
    ①物块P能到达圆轨道的最高点，在最高点有
       m$\frac{{v}_{0}^{2}}{\sqrt{3}R}$≥mg
    根据能量守恒定律得 
       Ep=μkmgcos30°•6R+kmgsin30°•6R+kmg•$\sqrt{3}$R（1+cos30°）+$\frac{1}{2}km{v}_{0}^{2}$
    联立解得 k≤$\frac{4}{11+3\sqrt{3}}$
    ②物块不超过与轨道圆心等高的高度．
    据能量守恒定律得 
       Ep-μkmgcos30°•6R-kmgsin30°•6R≤kmg•$\sqrt{3}$Rcos30°
    联立解得 k≥$\frac{4}{11}$
    综上，P的质量的取值范围为mP ≤$\frac{4}{11+3\sqrt{3}}$m或mP ≥$\frac{4}{11}$m
    答：
    （1）物块P与直轨道间的动摩擦因数μ是$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
    （2）物块P被弹簧弹回时到达的最高点离C点的距离d是3R．
    （3）P的质量的取值范围为mP ≤$\frac{4}{11+3\sqrt{3}}$m或mP ≥$\frac{4}{11}$m．

    点评 本题考查动能定理、牛顿第二定律及竖直面内的圆周运动，解题的关键在于明确能P到达轨道最高点的临界条件：重力等于向心力，理解物块P在圆弧轨道上运动且不脱离圆弧轨道的含义，要注意不能漏解．

    练习册系列答案
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    B．将B板固定，A板右移一小段距离，则P点的电场强度增大，电势升高
    C．将B板固定，A板下移一小段距离，则P点的电场强度不变，电势不变
    D．将B板固定，A板下移一小段距离，则P点的电场强度增大，电势升高

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    B．线框进入磁场时，感应电流方向为a→b→c→d→a
    C．线框bc边刚进入磁场时的感应电流小于线框bc边刚离开时的感应电流
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    A．摩擦力对金属块做的功为$\frac{1}{4}$EkB．摩擦力对金属块做的功为-$\frac{1}{4}$Ek
    C．电场力对金属块做的功为$\frac{3}{4}$EkD．电场力对金属块做的功为-$\frac{3}{4}$Ek

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