Question

15．在如图甲所示的半径为r的竖直圆柱形区域内，存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小随时间的变化关系为B=kt（k＞0且为常量）．
（1）将一由细导线构成的半径为r、电阻为R₀的导体圆环水平固定在上述磁场中，并使圆环中心与磁场区域的中心重合．求在T时间内导体圆环产生的焦耳热．

（2）上述导体圆环之所以会产生电流是因为变化的磁场会在空间激发涡旋电场，该涡旋电场趋使导体内的自由电荷定向移动，形成电流．如图乙所示，变化的磁场产生的涡旋电场存在于磁场内外的广阔空间中，其电场线是在水平面内的一系列沿顺时针方向的同心圆（从上向下看），圆心与磁场区域的中心重合．在半径为r的圆周上，涡旋电场的电场强度大小处处相等，并且可以用E_涡=$\frac{?}{2πr}$计算，其中ε为由于磁场变化在半径为r的导体圆环中产生的感生电动势．如图丙所示，在磁场区域的水平面内固定一个内壁光滑的绝缘环形真空细管道，其内环半径为r，管道中心与磁场区域的中心重合．由于细管道半径远远小于r，因此细管道内各处电场强度大小可视为相等的．某时刻，将管道内电荷量为q的带正电小球由静止释放（小球的直径略小于真空细管道的直径），小球受到切向的涡旋电场力的作用而运动，该力将改变小球速度的大小．该涡旋电场力与电场强度的关系和静电力与电场强度的关系相同．假设小球在运动过程中其电荷量保持不变，忽略小球受到的重力、小球运动时激发的磁场以及相对论效应．
①若小球由静止经过一段时间加速，获得动能E_m，求小球在这段时间内在真空细管道内运动的圈数；
②若在真空细管道内部空间加有方向竖直向上的恒定匀强磁场，小球开始运动后经过时间t₀，小球与环形真空细管道之间恰好没有作用力，求在真空细管道内部所加磁场的磁感应强度的大小．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，及焦耳定律，即可求解；
（2）根据题意，求得涡旋电场，再确定电场力的大小，依据动能定理，从而求解运动的圈数；再由运动的合成与分解，结合运动学公式与牛顿第二定律，即可求解．

解答 解：（1）导体圆环内的磁通量发生变化，将产生感生电动势，根据法拉第电磁感应定律，感生电动势为：
E=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$S=πr²k
导体圆环内感生电流为：
I=$\frac{E}{{R}_{0}}$=$\frac{kπ{r}^{2}}{{R}_{0}}$
在T时间内导体圆环产生的焦耳热为：
Q=I²R₀T
解得：Q=$\frac{T{π}^{2}{k}^{2}{r}^{4}}{{R}_{0}}$
（2）①根据题意可知，磁场变化将在真空管道处产生涡旋电场，该电场的电场强度为：
E_电=$\frac{E}{2πr}$=$\frac{kr}{2}$
小球在该电场中受到电场力的作用，电场力的大小为：F=qE_电=$\frac{kqr}{2}$
电场力的方向与真空管道相切，即与速度方向始终相同，小球将会被加速，动能变大．设小球由静止到其动能为E_m的过程中，小球运动的路程为s，
根据动能定理有：Fs=E_m
小球运动的圈数为：N=$\frac{s}{2πr}$
解得：N=$\frac{{E}_{m}}{kqπ{r}^{2}}$
②小球的切向加速度大小为：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{kqr}{2m}$  
由于小球沿速度方向受到大小恒定的电场力，所以经过时间t₀，
小球的速度大小v满足v=at₀
小球沿管道做圆周运动，因为小球与管道之间没有相互作用力，所以，小球受到的洛伦兹力提供小球的向心力，设所加磁场的磁感应强度为B₀，
则有：qvB₀=$\frac{m{v}^{2}}{r}$
解得：B₀=$\frac{1}{2}$kt₀
答：（1）在T时间内导体圆环产生的焦耳热$\frac{T{π}^{2}{k}^{2}{r}^{4}}{{R}_{0}}$；
（2）①小球在这段时间内在真空细管道内运动的圈数$\frac{{E}_{m}}{kqπ{r}^{2}}$；
②在真空细管道内部所加磁场的磁感应强度的大小$\frac{1}{2}$kt₀．

点评 考查电磁学与力学综合运用的内容，掌握法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律与焦耳定律的应用，理解动能定理及牛顿运动定律，注意电场强度与电动势的符号区别，及用E_涡=$\frac{?}{2πr}$计算出其电场强度是解题的突破口．