Question

17．两辆汽车A与B，在t=0时从十字路口O处分别以速度v_A和v_B沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图所示．汽车A持续地以固定的频率v₀鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率．已知声速为u，且当然有u＞v_A、v_B．

Answer 1

分析 传播到汽车B的笛声不是t时刻，而是较早时刻t₁由A车发出的．作出示意图，结合运动学公式，运用数学几何关系列出方程，求出t₁和t-t₁的表达式，再结合多普勒效应求出汽车B的司机所检测到的笛声频率．

解答 解：t时刻汽车B位于B（t）处，距O点的距离为v_Bt．此时传播到汽车B的笛声不是t时刻，而是较早时刻t₁由A车发出的．汽车A发出此笛声时位于A（t₁）处，距O点的距离为v_At₁．此笛声由发出点到接收点（t时刻B车所在点）所传播的路程为u（t-t₁），由几何关系可知，
$（{v}_{B}t）^{2}+（{v}_{A}{t}_{1}）^{2}=[u（t-{t}_{1}）]^{2}$    ①
即$（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）{t}_{1}{\;}^{2}-2{u}^{2}t{t}_{1}+（{u}^{2}-{{v}_{B}}^{2}）{t}^{2}$=0．
这是以t₁为变量的一元二次方程，其解为${t}_{1}=（\frac{{u}^{2}±\sqrt{{μ}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}}{{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}）$，
由于${u}^{2}＞{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}$，但t₁＜t，所以上式中只能取减号，
即${t}_{1}=\frac{{u}^{2}-\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}}{{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}$t，②
$t-{t}_{1}=\frac{\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}-{{v}_{A}}^{2}}{{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}t$    ③
令$\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}=k$，④
有：${t}_{1}=\frac{{u}^{2}-k}{{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}t$，$t-{t}_{1}=\frac{k-{{v}_{A}}^{2}}{{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}t$    ⑤

在t₁时刻，位于A（t₁）处的汽车A发出的笛声沿直线（即波线）$\overline{A（{t}_{1}）B（t）}$在t时刻传到B（t）处，以θ_A（t）、θ_B（t）分别表示车速与笛声传播方向的夹角，有$cos{θ}_{A（t）}=\frac{{v}_{A}{t}_{1}}{u（t-{t}_{1}）}=\frac{{v}_{A}（{u}^{2}-k）}{u（k-{{v}_{A}}^{2}）}$   ⑥
$cos{θ}_{B（t）}=\frac{{v}_{B}t}{u（t-{t}_{1}）}=\frac{{v}_{B}（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）}{u（k-{{v}_{A}}^{2}）}$    ⑦

令ν 表示B车司机接收到的笛声的频率，由多普勒效应可知
$v=\frac{u-{v}_{B}cos{θ}_{B（t）}}{u+{v}_{A}cos{θ}_{A（t）}}{v}_{0}$    ⑧

由⑥⑦⑧式，得v=$\frac{{u}^{2}（\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}-{{v}_{A}}^{2}）-{{v}_{B}}^{2}（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）}{（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}}$v₀．
答：在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率为$\frac{{u}^{2}（\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}-{{v}_{A}}^{2}）-{{v}_{B}}^{2}（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）}{（{u}^{2}-{{v}_{A}}^{2}）\sqrt{{u}^{2}（{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{B}}^{2}）-{{v}_{A}}^{2}{{v}_{B}}^{2}}}$v₀．

点评 多普勒效应是由于观察者和波源间位置的变化而产生的，多普勒效应是波特有的现象，解决本题的关键作出示意图，结合运动学公式分析求解，本题对计算能力的要求较高，是一道竞赛题．