Question

5．如图所示，一竖直放置的圆环，半径为R，左侧PAB光滑，右侧PCB粗糙，A，C与圆心O等高，轻弹簧a一端固定于最高点O，另一端系一个有孔，质量为m的小球，小球套于圆环上，现将小球置于A点由静止释放，小球第1次经过最低点B时速度为$\sqrt{gR}$，切与圆环刚好无作用力，之后因有摩擦（动摩擦因数较小，但不能忽略）小球能运动到右侧的最高点C₁，C₂，C₃…的高度逐渐降低，重力加速度为g．
（1）求小球第1次经过B点时弹簧弹力F；
（2）求从A点静止开始到第1次经过B点的过程中，弹性势能的变化量△_Ep；
（3）若仅将弹簧a换成原长为2R的弹簧b，仍将小球置于A点由静止释放，测得小球第1次经过B点时对圆环的压力为5mg，第k次经过B点后运动到右侧的最高点C_K位置时，弹簧b与竖直方向成30°角，弹性势能时最大弹性势能的0.21倍，求此时已产生的内能Q_K．

Answer 1

分析 （1）受力分析，根据圆周运动规律即可求解
（2）由机械能守恒定律即可求解
（3）先求出最大弹性势能，然后根据动能定理即可求解

解答 解：（1）由圆周运动的规律得：
F-mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
代入数据解得：
F=2mg
（2）由机械能守恒得
mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+△E_p
代入数据解得
△E_p=$\frac{1}{2}mgR$
（3）小球A到达B点后弹簧为原长，此时由圆周运动规律
5mg-mg=$\frac{mv{′}^{2}}{R}$
弹簧位于A点时有最大弹性势能，由机械能守恒得：
E_p+mgR=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
解得：E_p=mgR
对小球从B开始到C_k过程由动能定理得：
0-$\frac{1}{2}mv{′}^{2}{=}_{\;}$-mgR（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-Q_k-0.21E_p
解得：Q_k=$\frac{79+50\sqrt{3}}{100}$mgR
答：（1）求小球第1次经过B点时弹簧弹力F为2mg
（2）求从A点静止开始到第1次经过B点的过程中，弹性势能的变化量为$\frac{1}{2}$mgR；
（3）此时已产生的内能为$\frac{79+50\sqrt{3}}{100}$mgR．

点评 题是一道综合题，综合运用了机械能守恒定律、动能定理以及功能关系，解决本题的关键熟练这些定理、定律的运用．