Question

12．如图所示，直角坐标系处于竖直面内，第一、二象限存在着平滑连接的光滑绝缘轨道．第一象限内的轨道呈抛物线形状，其方程为y=$\frac{1}{2R}$x²；第二象限内的轨道呈半圆形状，半径为R，B点是其最高点，且第二象限处于竖直方向的匀强电场中．现有一质量为m、带电量为q的带电小球，从与B点等高的A点静止释放，小球沿着轨道运动且恰能运动到B点．重力加速度为g，求
（1）小球运动到O点时对轨道的压力F；
（2）第二象限内匀强电场的场强大小E；
（3）小球落回抛物线轨道时的动能E_k．

Answer 1

分析 （1）从A到O由机械能守恒求的到达O点的速度，根据牛顿第二定律求的在O点的作用力
（2）小球恰能到达B点，根据牛顿第二定律求的B点的速度，根据动能定理求的场强
（3）小球从B点做平抛运动，根据平抛运动的特点和轨迹方程即可判断

解答 解：（1）小球从A点运动到O点的过程中机械能守恒，有$mg•2R=\frac{1}{2}mv_o^2$
在O点处，对小球由牛顿第二定律得${F_N}-mg=m\frac{v_o^2}{R}$
解得F_N=5mg
由牛顿第三定律可知
小球对轨道压力大小为F=5mg，方向竖直向下．
（2）小球恰能运动到B点，说明小球所受的电场力向上．由牛顿第二定律得$mg-qE=m\frac{v_B^2}{R}$
小球从A点到B点的过程中，由动能定理得$qE•2R=\frac{1}{2}mv_B^2-0$
解得${v_B}=2\sqrt{\frac{gR}{5}}$   $E=\frac{mg}{5q}$
（3）小球从B点飞出后做平抛运动，设落回抛物线轨道时的坐标为（x，y），有x=v_Bt$2R-y=\frac{1}{2}g{t^2}$
x、y满足关系$y=\frac{1}{2R}{x^2}$
小球从B点到抛物线轨道，由动能定理得$mg（2R-y）={E_k}-\frac{1}{2}mv_B^2$
解得${E_k}=\frac{68}{45}mgR$
答：（1）小球运动到O点时对轨道的压力F为5mg；
（2）第二象限内匀强电场的场强大小E为$\frac{mg}{q}$；
（3）小球落回抛物线轨道时的动能E_k为$\frac{68}{45}mgR$

点评 ①涉及到圆周运动的动力学问题应根据牛顿第二定律并结合动能定理求解；②涉及到平抛运动问题，应根据平抛规律求解