Question

如图所示，在xOy平面内的第一象限内存在沿Y轴正方向的匀强电场，在第四象限存在有界的磁场，磁感应强度B=9.0×10^-3T，有一质量为m=9.0×10^-31kg，电量为e=1.6×10^-19C的电子以v₀=2.0×10⁷m/s的速度从Y轴的p点（0，2.5

3

cm）沿X轴正方向射入第一象限，偏转后从X轴的Q点射入第四象限，方向与X轴成60⁰角，在磁场中偏转后又回到Q点，方向与X轴也成60⁰角．不计电子重力，求：
（1）OQ之间的距离及电子通过Q点的速度大小．
（2）若在第四象限内的磁场的边界为直线边界，即在虚线Y=Y₀的下方有磁场，如图中所示．求Y₀的坐标．
（3）若在第四象限内的磁场为圆形边界的磁场，圆形边界的磁场的圆心坐标的范围．

Answer 1

分析：（1）由Q点的速度方向与x轴成60⁰角，因已知初速度，由三角函数关系，可以得到Q点速度大小．在由平抛规律可以得到平抛的水平位移即为OQ之间的距离．
（2）由电子在磁场中的圆周运动可以到的其轨道半径，在由数学几何关系可以得到y轴上y₀的坐标．
（3）首先来确定圆心的x轴坐标：由于入射方向与X轴成60⁰角，在磁场中偏转后又回到Q点，方向与X轴也成60⁰角，故其圆心应在Q点的正下方，可知圆心x坐标．
磁场圆心y轴坐标的最小值为：磁场半径大于电子轨道半径时，由数学几何关系得到的坐标．磁场圆心y轴坐标的最大值为：由于磁场必须在第四象限，由其圆心必在Q点的正下方，故其半径不应大于5cm，由此得到的磁场圆心坐标即为其最大值．

解答：解：
（1）电子在电场做类平抛运动，在Q点速度方向与X轴成60⁰角，故
v=

v0

cos60°

=4.0×10⁷m/s
又由平抛规律：
x=v₀t
y=

vy

2

t
其中：
v_y=v₀tan60°
解得：x=5cm
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，故有：
qvB=m

v2

R

由几何关系可知，电子回到Q点有：
y₀=Rsin60°tan60°
解得：
y₀=3.75cm
（3）由于在磁场中偏转后又回到Q点，方向与X轴也成60⁰角．其运动轨迹如图：
由几何关系可知，圆形磁场的圆心在Q点的正下方，即：x=5cm
圆形磁场应与电子轨迹有公共弦，同时只要磁场半径r大于R即可，故磁场圆心y轴的最小坐标为：
y=y₀+Rcos60°=5cm
圆形磁场在第四象限，磁场半径应小于5cm，由几何关系可知，磁场圆心y轴的最大坐标为：
y=y0+

r2+(Rcos30°)2

=

15+5 13

4

cm
即圆形磁场的圆心的坐标应满足：
x=5cm

15+5 13

4

cm≤y＜-5cm
答：
（1）OQ之间的距离为5cm，电子通过Q点的速度大小为4.0×10⁷m/s
（2）Y₀的坐标y₀=3.75cm
（3）圆形边界的磁场的圆心坐标的范围即圆形磁场的圆心的坐标应满足：x=5cm，

15+5 13

4

cm≤y＜-5cm

点评：本题难点在第三问，一：要由其入射和出射的角度相同，判定出来圆心应在Q点的正下方（对称性）．二：要依据题目给定的条件判定最大值和最小值分别在什么情况下出现，这个没有统一的方法，只能具体题目具体分析，要点就是去找题目当中给定的限定条件，如本题中要求必须在第四象限，由此我们就可以去顶其圆心坐标的最大值．