Question

2．如图所示，水平光滑地面上停放着一辆质量为M的小车，小车左端靠在竖直墙壁上，其左侧半径为R的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，轨道最低点B与水平轨道BC相切，BC=2R，整个轨道处于同一竖直面内，将质量为m的物块（可视为质点，其中M=2m）从A点无初速释放，物块与小车上表面之间的动摩擦因数为0.5，试分析物块能否从BC上掉下，如果掉下请说明理由，如果不能掉下，求出物块相对BC运动的位移大小．

Answer 1

分析 根据动能定理求得滑块下落至B点时的速度，滑块从B向C滑动时，满足系统动量守恒，求出滑块和小车在水平面上一起运动时的共同速度，再根据相对运动求出滑块相对小车滑动的距离．

解答 解：根据动能定理可知，小车滑至B点时的速度，有：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
滑块在B点的速度${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
滑块滑至B点后在小车上继续滑动时，小车和滑块组成的系统满足动量守恒，故两者最终共同的速度满足：
mv_B=（M+m）v
共同速度$v=\frac{m}{M+m}{v}_{B}=\frac{1}{3}\sqrt{2gR}$
此过程中，滑块受到小车动摩擦力作用下做匀减速运动，故滑块产生的加速度$a=\frac{f}{m}=\frac{μmg}{m}=μg=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，滑块的位移
${x}_{1}=\frac{{v}^{2}-{v}_{B}^{2}}{-2a}=\frac{16R}{9}$
小车在摩擦力作用下做匀加速运动，加速度$a′=\frac{f}{M}=\frac{μmg}{2m}=\frac{1}{4}g$
所以小车的位移：${x}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2×a′}=\frac{\frac{1}{9}×2gR}{2×\frac{1}{4}g}=\frac{4}{9}R$
所以滑块在小车上滑动的距离$△x={x}_{1}-{x}_{2}=\frac{16}{9}R-\frac{4}{9}R=\frac{4}{3}R$
由于△x＜2R
所以滑块没有从车上滑下来，最终停在距B点$\frac{4}{3}R$处．
答：物块最终不能从BC上滑下来，滑块相对于BC运动的距离大小为$\frac{4}{3}$R．

点评 本题主要考查动能定理，关键是分析选择好运动的过程，掌握相关知识点是正确解题的关键．