Question

4．我国月球探测活动的第一步“绕月”工程和第二步“落月”工程已按计划在2013年以前顺利完成．假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，下列判断正确的是（　　）

• A． 飞船从A到B运行的过程中机械能增大
• B． 飞船在A点处点火变轨时，动能增大
• C． 飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v=$\frac{\sqrt{{g}_{0}R}}{2}$
• D． 飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间T=π$\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$

Answer 1

分析 根据机械能守恒条件判断A到B过程中机械能守恒，结合万有引力与向心力的大小关系，判断在A点是加速还是减速．根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上的运行速率和周期．

解答 解：A、飞船从A到B的过程中只有万有引力做功，机械能守恒，故A错误．
B、飞船在A点从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动，所以动能减小，故B错误．
C、根据$G\frac{Mm}{（4R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{4R}$得，飞船的运行速率v=$\sqrt{\frac{GM}{4R}}$，又GM=${g}_{0}{R}^{2}$，则v=$\frac{\sqrt{{g}_{0}R}}{2}$．故C正确．
D、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，飞船在轨道Ⅲ上的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，又GM=${g}_{0}{R}^{2}$，解得T=$2π\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$，故D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键掌握变轨的原理，以及掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．