Question

13．小球A从地面上方H高处自由下落，同时在A的正下方，小球B从地面以初速度v竖直上抛，不计空气阻力，要使A、B发生下属碰撞，v、H应满足什么条件？
（1）在B落地前相遇；
（2）在B下落阶段相遇．

Answer 1

分析 （1）根据位移时间公式分别求出A和B的位移大小，两物体在空中相碰，知两物体的位移之和等于h，再结合相遇的时间小于B竖直上抛运动的总时间，求出B的初速度v应满足的条件．
（2）在B下落阶段相遇，相遇的时间大于B上升的时间且小于B落地的时间．

解答 解：（1）设经过时间t_AB在空中相碰，A做自由落体运动的位移为h₁=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$　…①
B做竖直上抛运动的位移 h₂=vt-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$…②
由几何关系 H=h₁+h₂…③
联立①②③解得 t=$\frac{H}{v}$…④
设B抛出后经过时间t₀落地，根据速度-时间关系有 　
t₀=$\frac{2v}{g}$…⑤
要AB在空中相遇，应满足 0＜t≤t₀…⑥
联立④⑤⑥解得 v≥$\sqrt{\frac{gH}{2}}$．
（2）B上升到最高点所需的时间：t₁=$\frac{v}{g}$　　⑦
在B下落阶段相遇时，t₁＜t≤t₀…⑧
联立④⑤⑦⑧解得：$\sqrt{\frac{gH}{2}}≤v＜\sqrt{gH}$
答：（1）在B落地前相遇满足解得 v≥$\sqrt{\frac{gH}{2}}$；
（2）在B下落阶段相遇满足$\sqrt{\frac{gH}{2}}≤v＜\sqrt{gH}$．

点评 解决本题的关键知道两物体在空中相碰，两物体的位移之和等于H，结合物体运动时间的范围，求出初始度的范围．