Question

14．如图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞，相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度θ=30°处
（1）设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速v₀的值；
（2）相撞时小球受到多大的冲量．

Answer 1

分析 （1）小球和棒发生弹性碰撞，遵守角动量守恒定律和机械能守恒定律，由此列式，可求得小球初速v₀的值．
（2）对碰撞过程，以小球为研究对象，运用动量定理求冲量．

解答 解：（1）设小球的初速度为v₀，棒经小球碰撞后得到的初角速度为ω，而小球的速度变为v．依题意，小球和棒发生弹性碰撞，遵守角动量守恒定律和机械能守恒定律，则得：
mv₀l=Iω+mvl
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}Iω{\;}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ 
又 I=$\frac{1}{3}M{l}^{2}$
在棒向上摆动的过程中，由机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}Iω{\;}^{2}$=Mg$\frac{l}{2}$（1-cos30°）
联立解得：v₀=$\frac{ωl}{2}$（1+$\frac{I}{m{l}^{2}}$）=$\frac{l}{2}（1+\frac{M}{3m}）$ω=$\frac{\sqrt{6（2-\sqrt{3}）}}{12}$•$\frac{3m+M}{m}$$\sqrt{gl}$
（2）相碰时小球受到的冲量为：Fdt=△mv=mv-mv₀=-$\frac{Iω}{l}$=-$\frac{1}{3}$Mlω=-$\frac{\sqrt{6（2-\sqrt{3}）}M}{6}$$\sqrt{gl}$
负号表示冲量方向与小球初速度方向相反．
答：
（1）小球初速v₀的值为$\frac{\sqrt{6（2-\sqrt{3}）}}{12}$•$\frac{3m+M}{m}$$\sqrt{gl}$；
（2）相撞时小球受到的冲量为$\frac{\sqrt{6（2-\sqrt{3}）}M}{6}$$\sqrt{gl}$，方向与小球初速度方向相反．

点评 解决本题的关键是要知道弹性碰撞遵守角动量守恒定律和机械能守恒定律，知道动量定理是求冲量常用的方法．