Question

图甲中，质量为m的物块A叠放在质量为2m的足够长的木板B上方正中间，木板放在光滑的水平地面上，物块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.2．在木板上施加一水平向右的拉力F，在0～3s内F的变化如图乙所示，图中F以mg为单位，重力加速度g=10m/s²．整个系统开始时静止．

（1）分别求出1s末、1.5s末和3s末物块A的速度以及木板B的速度；
（2）在同一坐标系中画出0～3s内木板B和物块A的v-t图象，据此求0～3s内物块相对于木板滑过的距离；
（3）3s末在木板上施加一水平向左的大小F=mg的拉力作用一定时间，使AB最终都能停止运动，求最终A静止在B上的位置．

Answer 1

（1）m相对M即将滑动时加速度为am=μg=2m/s2，
则F₀=（m+2m）a_m=0.6mg，是AB相对滑动的临界条件．
在t₁=1s时间内，F=mg＞F₀．设木板和物块的加速度分别为a_A1和a_B1，
aA1=

f

m

=μg=2m/s2
aB1=

F-f

2m

=4m/s2
由公式v=at，解得1s末v_A1=2m/s，v_B1=4m/s
在t₂=1.5s时间内，F=0.4mg，v_B＞v_A，则依然存在相对滑动，
aA2=

f

m

=μg=2m/s2，aB2=

F-f

2m

=1m/s2
由公式v=v₀+at，解得得1.5s末v_A2=3m/s，v_B2=4.5m/s
在t＞1.5s时间内，F=0，v_B＞v_A，则依然存在相对滑动，aA3=

f

m

=μg=2m/s2，做加速运动．
aB3=

f

2m

=1m/s2，做减速运动．
设经过△t时间共速，
则v_A2+a_A3△t=v_B2-a_B3△t
代入数据得△t=0.5s，故2s末以后v_A3=v_B3=4m/s．
（2）由（1）问计算结果得到物块与木板运动的v-t图象，如图所示．在0～3s内物块相对于木板的距离△s等于木板和物块v-t图线下的面积之差，
即图中带阴影的四边形面积，该四边形由两个三角形组成，上面的三角形面积为0.25（m），下面的三角形面积为2（m），
因此物块木板△s=2.25 m．
（3）3s末v_A=v_B=4m/s，在木板上施加一水平向左的大小F=mg＞F₀的拉力后，AB匀减速运动，由-Ft=0-（m+2m）v
得需要作用t=1.2s，才能让AB最终停止运动．
aA=

f

m

=μg=2m/s2，减速，A停止用时tA=

vA

aA

=2s
sA=

vA2

2aA

=4m
aB=

F-f

2m

=4m/s2，减速，
t=1.2s时间内，v_B'=v_B-a_Bt=-0.8 m/s
t=1.2s末撤去外力F，aB′=

f

2m

=1m/s2，t′=0.8s停止运动．
sB=

1

2

(vB+vB′)t-

vB′2

2aB′

=1.6m
则△s'=4-1.6=2.4 m，
所以最终A静止在B上的离中间右方2.4-2.25=0.15m位置处．
答：（1）1s末、1.5s末和3s末物块A的速度分别为2m/s、3m/s、4m/s，B的速度分别为4m/s、4.5m/s、4m/s．
（2）图象如图所示，0～3s内物块相对于木板滑过的距离为2.25m．
（3）最终A静止在B上的位置为离中间右方0.15m位置处．