Question

（2010?连云港二模）如图所示，光滑圆弧轨道与光滑斜面在B点平滑连接，圆弧半径为R=0.4m，一半径很小、质量为m=0.2kg的小球从光滑斜面上A点由静止释放，恰好能通过圆弧轨道最高点D．求：
（1）小球最初自由释放位置A离最低点C的高度h；
（2）小球运动到C点时对轨道的压力N的大小；
（3）若斜面倾斜角与图中θ相等，均为53°，小球从离开D点至第一次落回到斜面上运动了多长时间？

Answer 1

分析：（1）小球恰好能通过圆弧轨道最高点D，说明此时恰好是物体的重力作为向心力，由向心力的公式可以求得在D点的速度大小，从A到D的过程中，物体的机械能守恒，从而可以求得小球释放时离最低点的高度．
（2）在C点时，对物体受力分析，重力和支持力的合力作为向心力，由向心力的公式可以求得小球受得支持力的大小，再由牛顿第三定律可以知道对轨道压力的大小．
（3）离开D点小球做平抛运动，根据水平方向的匀速直线运动，竖直方向上的自由落体运动可以求得小球运动的时间．

解答：解：（1）在D点时，设小球的速度为v_D，
  mg=m

V 2 D

R

 
∴v_D=2m/s
由A运动到D点，由机械能守恒可得
  mg（h-2R）=

1

2

mv_D²
∴h=1m
所以小球最初自由释放位置A离最低点C的高度h是1m．
（2）由A运动到C点，由机械能守恒可得
  mgh=

1

2

mv_C²
在C点，由牛顿第二定律和向心力公式可得
  F_N-mg=m

V 2 c

R

 
∴F_N=12N
由牛顿第三定律可知，小球运动到C点时对轨道的压力N的大小是12N．
（3）设撞到斜面上E点离B点的距离为x，飞行时间为t，由平抛运动规律可得
水平方向  Rsin53°+xcos53°=v_Dt
竖直方向  R+Rcos53°-xsin53°=

1

2

gt²
由上面两式解得  t=

4

15

s≈0.27s．
所以小球从离开D点至第一次落回到斜面上运动的时间是0.27s．

点评：小球的运动过程可以分为三部分，第一段是匀加速直线运动，第二段的机械能守恒，第三段是平抛运动，分析清楚各部分的运动特点，采用相应的规律求解即可．