Question

6．如图所示，水平面上方被竖直线MN分隔成两部分，M点左侧地面粗糙，与B球间的动摩擦因数为μ=0.5，右侧光滑．MN右侧空间有一范围足够大的匀强电场．在O点用长为R=5m的轻质绝缘细绳系一质量为m_A=0.04kg、带电量为q=+2×10^-4C的小球A，使其在竖直平面内以v=10m/s的速度做顺时针匀速圆周运动，小球A运动到最低点时与地面刚好不接触．处于原长状态的弹簧左端连在墙上，右端与不带电的小球B接触但不粘连，B球的质量m_B=0.02kg，此时B球刚好位于M点．现用水平向左的推力将B球缓慢压至P点（弹簧仍在弹性限度内），M、P之间的距离为L=10cm，推力所做的功是W=0.27J．当撤去推力后，B球沿地面向右滑动，恰好能和A球在最低点处发生正碰，并瞬间成为一个整体C（A、B、C均可视为质点）．碰撞前后电荷量保持不变，碰后瞬间立即把匀强电场的场强大小变为E'=6×10³N/C，电场方向不变．取g=10m/s²，求：
（1）在A、B两球碰撞前匀强电场的大小和方向；
（2）A、B两球碰撞后瞬间整体C的速度；
（3）整体C运动到最高点时绳的拉力大小．

Answer 1

分析 （1）小球在竖直平面内做匀速圆周运动，合力始终指向圆心且大小不变，所以电场力要与重力抵消，绳子的拉力提供向心；
（2）先根据功能关系求出小球B运动到M点时速度，由动量守恒定律求得共同速度；
（3）小球从最低点到最高点过程先是类似平抛运动，然后是圆周运动；由类似平抛运动的规律和动能定理求得小球达到最高点的速度，再根据向心力公式即可求解．

解答 解：（1）要使小球在竖直平面内做匀速圆周运动，必须满足：
 F_电=Eq=m_Ag
所以有：E=$\frac{{m}_{A}g}{q}$=2×10³N/C，方向竖直向上
（2）由功能关系得，弹簧具有的最大弹性势能为：
 E_P=W-μm_BgL=0.27-0.5×0.02×10×0.1=0.26（J）．
设小球B运动到M点时速度为v_B，由功能关系得：
E_P-μm_BgL=$\frac{1}{2}$m_Bv_B²
可得：v_B=5m/s
两球碰后结合为C，设C的速度为v₁，
取向左为正方向，由动量守恒定律得：
 m_Av-m_Bv_B=m_Cv₁
解得：v₁=5m/s
（3）加电场后，因
    E′q-m_Cg=0.6N
  m_c$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$=0.3N
则m_c$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$＜（E′q-m_cg）
所以C不能做圆周运动，而是做类平抛运动，设经过时间t绳子在Q处绷紧，由运动学规律得
   x=v₁t
   y=$\frac{1}{2}$at²
又 a=$\frac{E′q-{m}_{C}g}{{m}_{C}}$
由几何知识有 x²+（R-y）²=R²
可得，t=1s
则 v_y=at=10m/s
      x=y=R=5m
即：绳子绷紧时恰好位于水平位置，水平方向速度变为0，
以竖直分速度v_y开始做圆周运动
设到最高点时速度为v₂．由动能定理得：
$\frac{1}{2}$m_Cv₂²-$\frac{1}{2}$m_Cv_y²=E′qR-m_CgR
得：v₂=10$\sqrt{2}$m/s
在最高点由牛顿运动定律得；T+m_Cg-E′q=m_c$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
求得：T=3N
答：（1）在A、B两球碰撞前匀强电场的大小是2×10³N/C，方向竖直向上；
（2）A、B两球碰撞后瞬间整体C的速度是5m/s；
（3）整体C运动到最高点时绳的拉力大小是3N．

点评 本题要求同学们能正确分析物体的受力情况及运动过程，把握每个过程和状态的物理规律，按时间顺序分析，运用动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律及功能关系进行研究．