Question

7．如图所示，间距为d的水平长直导轨MN、PQ与半径为r=1.0m的光滑圆轨道O₁、O₂平滑相接于P、M两点，在直导轨的N、Q间接阻值为R的电阻，宽度为L的abcd区域存在竖直导轨平面向下的匀强磁场（图中未画出），cd边界的左侧粗糙，右侧光滑，cd边界距PM的距离为S，一质量为m，电阻为R₀的金属导体棒在外力F作用下以加速度a从静止开始匀加速运动到导轨P、M端时立即将外力F撤去．已知导体棒质量为m=1.0kg，导体棒与水平导轨的动摩擦因素μ=0.4，磁感应强度B=1.0T，电阻R=R₀=2.0Ω（其余电阻不计），外力F与时间t的关系图象如图乙所示．（g取10m/s²）求：

（1）求导体棒在磁场区域运动的加速度a和长直导轨的间距d
（2）若金属棒不脱离圆轨道，试讨论S与导体棒上升的最大高度的关系．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力公式F_安=BId和牛顿第二定律得到F与t的关系式，结合图象的信息求解．
（2）若金属棒不脱离圆轨道，有两种情况：一、导体棒刚好到达圆轨道与圆心等高点位置；二、导体棒能到达圆轨道的最高点．根据临界条件和动能定理结合解答．

解答 解：（1）导体棒做匀加速直线运动，且切割磁感线，由法拉第电磁感应定律得感应电动势为：
E=Bdv…①
由闭合电路欧姆定律得通过导体棒的感应电流为：$I=\frac{E}{{R+{R_0}}}$…②
导体棒穿过磁场过程中受到的安培力为：F_安=BId…③
由牛顿第二定律得：F-F_安=ma…④
由　①②③④式联立解得：$F=ma+\frac{{{B^2}{d^2}a}}{{R+{R_0}}}t$…⑤
代入数据得：$F=a+\frac{{a{d^2}}}{4}t$…⑥
由图乙可知，a=2m/s²；$\frac{a{d}^{2}}{4}$=2…⑧
解得：d=2m…⑨
（2）设导体棒刚离开磁场区域时的速度为v₀，由匀变速运动规律得：v₀=at=4m/s…⑩
导体棒离开磁场后做匀加速直线运动，到达P、M端点时设速度为为v₁，由动能定理得：
 $（F-μmg）S=\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{1}{2}m{v_0}^2$…（11）
解得：${v_1}=2\sqrt{S+4}$…（12）
讨论一：若导体棒刚好到达圆轨道与圆心等高点位置，则须满足：$\frac{1}{2}m{v_1}^2≤mgr$…（13）
解得：S≤1.0m    
设导体棒上升的最大高度为h，由动能定理得：$mgh=\frac{1}{2}m{v_1}^2$…（14），
解得：h=0.8+0.2S…（15）
讨论二：若导体棒能到达圆轨道的最高点，则须满足 $mg≥\frac{{m{v_2}^2}}{r}$…（16）
由动能定理得：$mg2r≤\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{1}{2}m{v_2}^2$…（17），
解得：S≥8.5m…（18）
则导体棒上升的最大高度为：h=2r=2.0m…（19）．
答：（1）导体棒在磁场区域运动的加速度a是2m/s²；长直导轨的间距d是2m．
（2）若金属棒不脱离圆轨道，S与导体棒上升的最大高度的关系为：若导体棒刚好到达圆轨道与圆心等高点位置时，h=0.8+0.2S；若导体棒能到达圆轨道的最高点时导体棒上升的最大高度为 h=2r=2.0m．

点评 本题是电磁感应与力学的综合，关键要正确分析导体棒可能的运动情形，抓住圆周运动的条件，由力学规律和电磁感应规律结合解答．