Question

9．如图1所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中．现给ab杆一个初速度v₀，使杆向右运动．
（1）当ab杆刚好具有初速度v₀时，求此时ab杆两端的电压U，a、b两端哪端电势高；
（2）请在图2中定性画出通过电阻R的电流i随时间变化规律的图象；
（3）若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图3所示．同样给ab杆一个初速度v₀，使杆向右运动．请分析说明ab杆的运动情况，并推导证明杆稳定后的速度为v=$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{l}^{2}C}$．

Answer 1

分析 （1）求解产生感应电动势大小，根据全电路欧姆定律求解电流强度和电压，根据右手定则判断电势高低；
（2）分析杆的受力情况和运动情况，确定感应电流变化情况，由此画出图象；
（3）杆在向右运动过程中速度逐渐减小、由此分析安培力的变化，确定运动情况；根据动量定理求解最后的速度大小．

解答 解：（1）ab杆切割磁感线产生感应电动势为：E=Blv₀
根据全电路欧姆定律有：I=$\frac{E}{R+r}$   
ab杆两端电压即路端电压为：U=IR   
联立解得：U=$\frac{Bl{v}_{0}R}{R+r}$，根据右手定则可得a端电势高；
（2）杆在向右运动过程中速度逐渐减小、感应电动势逐渐减小，根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流逐渐减小，通过电阻R的电流i随时间变化规律的图象如图所示：

（3）分析：当ab杆以初速度v₀开始切割磁感线时，产生感应电动势，电路开始给电容器充电，有电流通过ab杆，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小，杆做加速度减小的减速运动．当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动．
推导证明：当电容器两端电压与感应电动势相等时有U=Blv
根据电容器电容C=$\frac{Q}{U}$                   
以ab杆为研究对象，在很短的一段时间△t内，杆受到的冲量大小为BIl△t
从ab杆开始运动至速度达到稳定的过程，根据动量定理：∑-BIl△t=-BlQ=mv-mv₀
联立可得v=$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{l}^{2}C}$．      
答：（1）当ab杆刚好具有初速度v₀时，此时ab杆两端的电压为U$\frac{Bl{v}_{0}R}{R+r}$，a端电势高；
（2）通过电阻R的电流i随时间变化规律的图象如图所示；
（3）ab杆先做加速度减小的减速运动，最后匀速运动，稳定后的速度为v=$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{l}^{2}C}$，证明见解析．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下物体的平衡问题；另一条是能量，分析电磁感应现象中的能量如何转化是关键．