Question

如图，一个质量为M的人，站在台秤上，手拿一个质量为m，悬线长为R的小球，在竖直平面内作圆周运动，且摆球恰能通过圆轨道最高点，求台秤示数的变化范围．

Answer 1

分析：知道小球恰好能通过圆轨道的最高点的临界条件．
小球运动到最低点时悬线对人的拉力最大，且方向竖直向下，故台秤示数最大，
根据机械能守恒和牛顿第二定律求出拉力在竖直方向的最小值．

解答：解：小球恰好能通过圆轨道的最高点，
由牛顿第二定律得：mg=m

v 2 0

R

，
小球在圆轨道最高点时的速度v₀=

gR

，
小球由最高点运动到最低点过程中，只有重力做功，机械能守恒，
由机械能守恒定律得：

1

2

mv₀²+mg?2R=

1

2

mv²，
解得，小球到达最低点时的速度：v=

5gR

；
小球运动到最低点时悬线对人的拉力最大，且方向竖直向下，故台秤示数最大，
小球通过最低点时，由牛顿第二定律得：T-mg=m

v2

R

，解得：T=6mg，
台秤的最大示数：F_最大=（M+6m）g，
小球运动到最高点时，细线中拉力为零，台秤的示数为Mg，但是不是最小，当小球处于如图所示状态时，

设其速度为v₁，由机械能守恒定律得：

1

2

mv₁²=

1

2

mv₀²+mgR（1-cosθ），
由牛顿第二定律得：T′+mgRcosθ=m

v 2 1

R

，
解得，悬线拉力：T′=3mg（1-cosθ）
其分力：T_y=Tcosθ=3mgcosθ-3mgcos²θ
当cosθ=

1

2

，即θ=60°时，
台秤的最小示数为：F_最小=Mg-

3

4

mg=Mg-0.75mg，
台秤示数的变化范围为Mg-0.75mg≤F≤=（M+6m）g；
答：台秤示数的变化范围为Mg-0.75mg≤F≤（M+6m）g．

点评：对物体进行受力分析，运用牛顿第二定律列出力与力的关系，根据题目的条件中找到临界状态．对于圆周运动的受力问题，我们要找出向心力的来源．