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1.宇航员站在一星球表面上的某高处,以初速度V0沿水平方向抛出一个小球,经过时间t,球落到星球表面,小球落地时的速度大小为V,已知该星球的半径为R,引力常量为G,求该星球的质量及该星球的第一宇宙速度.

分析 根据平抛知识求得星球表面的重力加速度,再根据重力提供向心力求得第一宇宙速度的大小.

解答 解:根据平抛知识有:

小球落地时的速度${v}_{y}=\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}$
小球在竖直方向做自由落体运动,故可知,星球表面重力加速度g=$\frac{{v}_{y}}{t}=\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{t}$
根据星球表面重力与万有引力相等有:
$mg=\frac{GmM}{{R}^{2}}$
可得星球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{R}^{2}}{G}$
星球的第一宇宙速度为绕星球表面飞行的卫星的线速度,据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力有:
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得星球第一宇宙速度为$v=\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{t}R}$
答:星球的质量为$\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{R}^{2}}{G}$,星球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{t}R}$.

点评 在万有引力的应用中加入平抛知识的考查,一定程度上增加了题目的综合性,关键仍是掌握万有引力与重力和向心力关系及平抛运动知识.

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