Question

如图甲所示，PQNM是表面粗糙的绝缘斜面，abcd是质量m=0.5 kg、总电阻R=0.5 Ω、边长L=0.5 m的正方形金属线框，线框的匝数N=10。将线框放在斜面上，使斜面的倾角θ由0°开始缓慢增大，当θ增大到37°时，线框即将沿斜面下滑，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，现保持斜面的倾角θ=37°不变，在OO'NM的区域加上垂直斜面方向的匀强磁场，使线框的一半处于磁场中，磁场的磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示。（g取10 m/s²，sin37°=0.6）
(1)试根据图乙写出B随时间t变化的函数关系式；
(2)请通过计算判断在t=0时刻线框是否会沿斜面运动？若不运动，请求出从t=0时刻开始经多长时间线框即将发生运动。

Answer 1

解：(1)由图乙所示图线可知：磁感应强度B随时间t均匀增大，所以B=B₀+kt，其中B₀=0.2 T，T/S= 0.4 T/s
所以B=0.2+0.4t (T)
(2)不加磁场时，由题意知，当θ=37°时，线框即将沿斜面下滑，此时斜面对线框的静摩擦力恰好达到最大值f_max，由平衡条件有
f_max=mgsinθ=0.6mg=3 N
加磁场后，由于压力不变，故f_max的大小不变，无论磁场方向垂直斜面向上还是向下，由楞次定理可知，当穿过线框的磁通量增大时，线框受到的安培力沿斜面向上，因此线框若是运动，则应沿斜面向上。即：满足F_安≥mgsinθ+f_max=6 N
由法拉第电磁感应定律有=
由闭合电路欧姆定律知，电流
在t=0时刻cd边受到的安培力F₀=NILB₀=1 N
故F₀＜mgsinθ+f_max，所以在t=0时刻，线框不会沿斜面下滑，也不会沿斜面上滑；当摩擦力方向沿斜面向下达到最大值时，线框即将沿斜面向上运动，此时线框受力如图所示，由平衡条件有
 
F_安=NILB=mgsinθ+f_max=6N
得磁感应强度大小为B=1.2 T
由(1)知，B=0.2+0.4t (T)
则所经历时间为t=2.5 s