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    8．如图所示，水平地面上固定一木板，小滑块A质量为m，带电量为+q，与木板之间没有摩擦力；小滑块B质量为3m，不带电，与木板之间的摩擦因数μ=0.5；木板左边界MN和PQ之间的距离为l，其间存在匀强电场，电场强度E满足qE=mg．B静止在边界PQ处，将A从木板左端静止释放，此后A、B会发生碰撞，每次碰撞均为弹性碰撞，且碰撞前后A、B的电量保持不变，A、B均可视为质点，重力加速度为g．
    （1）求第一次碰撞结束时A、B各自的速度；
    （2）如木板足够长，求A在电场中运动的总时间：
    （3）如木板总长度为$\frac{105}{64}l$，求A、B发生碰撞的次数．

    分析 （1）由动能定理求出滑块A第一次刚离开电场时速度．A、B发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒结合求解第一次碰撞结束时A、B各自的速度；
    （2）第一次碰撞结束后，B向右减速至0，A先向左匀减速再反向匀加速，由牛顿第二定律和速度公式求出B减速运动的时间和A在电场中运动的时间．B减速运动的时间总是与A在电场中运动的时间相等，即每次都是A追上静止的B发生弹性碰撞，分析A在电场中运动的规律，再得到总时间．
    （3）先由速度位移公式求出第一次碰撞后B向右匀减速的位移，根据速度关系分析B每次向右匀减速的位移，再结合几何关系求解．

    解答 解：（1）滑块A第一次刚离开电场时速度为v0，由动能定理得
      qEl=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
    又 qE=mg，则 v0=$\sqrt{2gl}$
    A、B发生弹性碰撞，取向右为正方向，由动量守恒有
      mv0=mvA1+3mvB1；
    由能量守恒得
      $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A1}^{2}$+$\frac{1}{2}•3m{v}_{B}^{2}$
    可得 vA1=-$\frac{1}{2}{v}_{0}$=-$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向左；vB1=$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向右
    （2）然后B向右减速至0，减速运动的加速度为 a=μg，用时 tB1=$\frac{{v}_{B1}}{a}$=$\frac{{v}_{0}}{2μg}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$
    A先向左匀减速再反向匀加速，在电场时间为 tA1=2$\frac{m|{v}_{A1}|}{qE}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$，再匀速追上B
    发生下一次弹性碰撞，由上述分析可知，B减速运动的时间总是与A在电场中运动的时间相等，即每次都是A追上静止的B发生弹性碰撞，由碰撞可知，每次碰撞后A的速度大小满足：
      vA2=$\frac{1}{2}{v}_{A1}$，…vAn=$\frac{1}{2}{v}_{An-1}$
    在电场中的时间也有  tA2=$\frac{1}{2}{t}_{A1}$，…，tAn=$\frac{1}{2}{t}_{A（n-1）}$
    则在电场中向左减速再反向加速的总时间 t′=$\frac{{t}_{A1}}{1-\frac{1}{2}}$=2tA1=$\frac{2{v}_{0}}{g}$=2$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
    第一次从电场左端到右端的时间为 tA0=$\frac{l}{2{v}_{0}}$=$\sqrt{\frac{2l}{qE}m}$=$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
    则A在电场中运动的总时间 tA=tA0+t′=3$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
    （3）第一次碰撞后B向右匀减速的位移为 sB1=$\frac{{v}_{B1}^{2}}{2a}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g}$=$\frac{1}{2}l$
    由于每次碰撞后B的速度为碰撞前A的速度的一半，也即为前一次B自己速度的一半，因此每次向右匀减速的位移为前一次的$\frac{1}{4}$，即sBn=$\frac{1}{4}$sB（n-1）
    如果A、B能发生n次碰撞，则B在右侧运动的总位移为 sB=$\frac{105}{64}$l-l=$\frac{41}{64}$l应满足：
      sB1+sB2+…+sB（n-1）＜sB＜sB1+sB2+…+sBn；
    由此可得 n=3
    或者 sB1=$\frac{1}{2}$l，sB2=$\frac{1}{8}$l，sB3=$\frac{1}{32}$l
    sB1+sB2=$\frac{5}{8}$l，sB1+sB2+sB3=$\frac{21}{32}$l
    由此可得两次碰后B还没有掉下去，三次碰后总位移大小sB，已经掉下去了，即碰3次．
    答：
    （1）第一次碰撞结束时A、B各自的速度分别为-$\frac{1}{2}{v}_{0}$=-$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向左和$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向右；
    （2）如木板足够长，A在电场中运动的总时间为3$\sqrt{\frac{2l}{g}}$：
    （3）如木板总长度为$\frac{105}{64}l$，A、B发生碰撞3次．

    点评 本题首先要正确分析两个物体的运动情况，运用动量守恒、动能定理和运动学公式结合分析位移和时间规律，同时要运用归纳法求解总时间．

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    A．a=82，b=211
    B．${\;}_{83}^{210}$Bi→${\;}_{a}^{210}$X是β衰变，${\;}_{83}^{210}$Bi→${\;}_{81}^{b}$Ti是α衰变
    C．${\;}_{83}^{210}$Bi→${\;}_{a}^{210}$X是α衰变，${\;}_{83}^{210}$Bi→${\;}_{81}^{b}$Ti是β衰变
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