Question

10．如图所示，在粗糙水平台阶上A点静止放置一质量m=0.5kg的小物块，它与水平台阶表面间的动摩擦因数μ=0.5，且与台阶边缘O点的距离s=5m．在台阶右侧固定了一个以O点为圆心的圆弧形挡板，以O点为原点建立平面直角坐标系，挡板上边缘P点的坐标为（1.6m，0.8m）．现用F=5N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板（g=10m/s²）．
（1）若小物块恰能击中挡板的上边缘P点，求拉力F作用的距离；
（2）改变拉力F的作用时间，小物块可击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值．（结果可保留根式）

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的高度求出平抛运动的时间，再结合水平位移和时间求出物块离开O点的速度；根据动能定理求出拉力F作用的距离．
（2）根据平抛运动的知识，结合椭圆方程，根据动能定理求出击中挡板的小物块动能的最小值

解答 解：（1）小物块从O到P做平抛运动
水平方向x=v₀t
竖直方向y=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v₀=4m/s；
为使小物块击中档板，小物块必须能运动到O点，设拉力F作用的最短距离为x₁，
由动能定理得：Fx₁-μmgs=△E_k-0=0
解得：x₁=$\frac{μmgs}{F}$=$\frac{0.5×0.5×10×5}{5}$=2.5m；
为使小物体不会飞出档板，小物块的平抛初速度不能超过4m/s；设拉力F作用的最长距离为x2，由动能定理可得：
Fx₂-μmgs=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：x₂=$\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}+μmgs}{F}$=$\frac{\frac{1}{2}×0.5×16+0.5×0.5×10×5}{5}$m=3.3m；
故为使物块击中档板，拉力F的作用距离范围为：
2.5＜x≤3.3；
（2）设小物块击中档板的任意点坐标为：（x，y）；则有：
x=v₀t′
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由机械能守恒定律得：
E_k=$\frac{1}{2}$mv₀′²+mgy
又x²+y²=R²
由P点坐标可求R²=3.2
化简得：
E_K=$\frac{mg{R}^{2}}{4y}$+$\frac{3mgy}{4}$=$\frac{4}{y}$+$\frac{15y}{4}$
由数学方法可得：
E_kmin=2$\sqrt{15}$J；
答：（1）F的作用范围为2.5＜x≤3.3；
（2）动能的最小值为2$\sqrt{15}$J

点评 本题综合了动能定理和平抛运动知识，综合性较强，难度中等，知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律并能熟练应用．