Question

7．如图所示，竖直直角坐标系，第一象限有水平向左的匀强电场E₁，第四象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，且直线Y=-L下方处有竖直向下的匀强电场E₂．质量为m的小球自A（0，$\frac{L}{2}$）处以v₀的初速度水平抛出，小球到达B（L，0）处是速度方向恰好与x轴垂直．在B处有一内表面粗糙的圆筒，筒内壁与小球间的动摩擦因数为μ，筒直径略大于小球直径，筒长为L，竖直放置．已知小球在离开筒以前就已经匀速，且离开筒后做匀速圆周运动，恰在D（0，-2L）处水平进入第三象限．求：
（1）E₁：E₂是多少？
（2）在圆筒内摩擦力做功是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，在电磁场中做匀速圆周运动，由类平抛运动规律与平衡条件求出电场强度之比；
（2）应用类平抛运动规律、平衡条件、动能定理求出摩擦力的功．

解答 解：（1）在第一象限，水平方向小球做匀减速运动，
加速度大小为：a=$\frac{qE1}{m}$              
由运动学公式，有：L=$\frac{1}{2}$at²
竖直方向做自由落体运动，有：$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$gt²
由①②得，a=2g
由牛顿第二定律可知，qE₁=2mg   
小球在第四象限的电磁场中做匀速圆周运动，应有电场力与重力平衡，即：
qE₂=mg        
故：E₁：E₂=2：1
（2）（11分）设小球进入圆筒时的速度为v₁，在第一象限，由运动规律有：
竖直方向：$\frac{L}{2}$=$\frac{v1}{2}$t    
水平方向：L=$\frac{v0}{2}$t  
解得：v₁=$\frac{v0}{2}$    
小球在圆筒中做加速度减小的加速运动，当重力与摩擦力相等时，开始做匀速运动，设此速度为v₂，由平衡条件，有：
mg=μBqv₂
解得：v₂=$\frac{mg}{μBq}$ 
在第四象限的电磁场中做匀速圆周运动时，
洛伦兹力提供向心力，有：Bqv₂=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{L}$
解得，v₂=$\sqrt{\frac{gL}{μ}}$
从小球进入圆筒到离开圆筒，由动能定理，有：
mgL+W_f=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$
解之得：W_f=-[mgL（1-$\frac{1}{2μ}$）+$\frac{1}{8}$mv${\;}_{0}^{2}$]
答：：（1）E₁：E₂是2：1；
（2）在圆筒内摩擦力做功是：-[mgL（1-$\frac{1}{2μ}$）+$\frac{1}{8}$mv${\;}_{0}^{2}$]．

点评 本题考查了粒子在电磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、应用类平抛运动规律、平衡条件、牛顿第二定律、动能定理即可正确解题．