Question

14．在倾角为θ的光滑固定斜面上有两个用轻弹簧连接的物块A和B，它们的质量分别为m和2m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态．现用一沿斜面方向的恒力拉物块A使之沿斜面向上运动，当B刚离开C时，A的速度为v，加速度为a，且方向沿斜面向上．设弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，则（　　）

• A． 当B刚离开C时，A发生的位移大小为$\frac{9mgsinθ}{k}$
• B． 恒力F的大小为F=3mgsinθ
• C． 当A的速度达到最大时，B的加速度大小为$\frac{a}{2}$
• D． 从开始运动到B刚离开C时，所用的时间为$\frac{v}{a}$

Answer 1

分析 未加拉力F时，物体A对弹簧的压力等于其重力的下滑分力；物块B刚要离开C时，弹簧的拉力等于物体B重力的下滑分力，根据平衡条件并结合胡克定律求解出两个状态弹簧的形变量，得到弹簧的长度变化情况，从而求出A发生的位移；
根据牛顿第二定律求出F的大小；
当A的加速度为零时，A的速度最大，根据合力为零求出弹簧的拉力，从而结合牛顿第二定律求出B的加速度．
与位移公式即可求出时间．

解答 解：A、开始A处于静止状态，弹簧处于压缩，根据平衡有：mgsinθ=kx₁，解得弹簧的压缩量${x}_{1}=\frac{mgsinθ}{k}$，
当B刚离开C时，B对挡板的弹力为零，有：kx₂=2mgsinθ，
解得弹簧的伸长量${x}_{2}=\frac{2mgsinθ}{k}$，
可知从静止到B刚离开C的过程中，A发生的位移x=${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{3mgsinθ}{k}$，故A错误．
B、根据牛顿第二定律得，F-mgsinθ-kx₂=ma，解得：F=3mgsinθ+ma，故B错误；
C、当A的加速度为零时，A的速度最大，设此时弹簧的拉力为F_T，则：F-F_T-mgsinθ=0
所以F_T=F-mgsinθ=3mgsinθ+ma-mgsinθ=2mgsinθ+ma
以B为研究对象，则：2ma′=F_T-2mgsinθ=ma
所以：$a′=\frac{1}{2}a$．故C正确．
D、若A一直做匀加速直线运动，则从开始运动到B离开C的时间：t=$\frac{△v}{a}=\frac{v}{a}$．
而实际的情况是开始时A受到的向上的弹簧的弹力比较大，随A向上运动的过程中弹簧对A的弹力减小，所以A向上运动的加速度减小，可知在B离开C前A的加速度一直大于a，所以从开始运动到B刚离开C时，所用的时间一定小于$\frac{v}{a}$，故D错误．
故选：C

点评 本题关键抓住两个临界状态，开始时的平衡状态和最后的B物体恰好要滑动的临界状态，然后结合功能关系分析，难度适中．