Question

（20分）如图13所示，一个物块A（可看成质点）放在足够长的平板小车B的右端，A、B一起以v₀的水平初速度沿光滑水平面向左滑行。左边有一固定的竖直墙壁，小车B与墙壁相碰，碰撞时间极短，且碰撞前、后无动能损失。已知物块A与小车B的水平上表面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。

（1）若A、B的质量均为m，求小车与墙壁碰撞后的运动过程中，物块A所受摩擦力的冲量大小和方向；

（2）若A、B的质量比为k，且k＜1，求物块A在小车B上发生相对运动的过程中物块A对地的位移大小；

（3）若A、B的质量比为k，且k=2，求小车第一次与墙壁碰撞后的运动过程所经历的总时间。

Answer 1

（20分）

解：（1）设小车B与墙碰撞后物块A与小车B所达到的共同速度大小为v，设向右为正方向，则由动量守恒定律得            mv₀-mv₀=2mv

解得                                v=0                                 （2分）

对物块A，由动量定理得摩擦力对物块A的冲量   I=0-（-mv₀）=mv₀            （2分）

冲量方向水平向右。                                                      （1分）

（2）设A和B的质量分别为km和m，小车B与墙碰撞后物块A与小车B所达到的共同速度大小为v′，木块A的位移大小为s。设向右为正方向，则由动量守恒定律得：则

                               mv₀-kmv₀=(m+km)v′                         （2分）

解得                        v′=                                 （1分）

对木块A由动能定理                       （2分）

代入数据解得                                      （2分）

（3）当k=2时，根据题意由于摩擦的存在，经B与墙壁多次碰撞后最终A、B一起停在墙角。A与B发生相对运动的时间t₀可等效为A一直做匀减速运动到速度等于0的时间，在A与B发生相对滑动的整个过程，对A应用动量定理：      （2分）

解得时间                                                        （1分）

设第1次碰后A、B达到的共同速度为v₁，B碰墙后，A、B组成的系统，没有外力作用，水平方向动量守恒，设水平向右为正方向，由动量守恒定律，得

mv₀－2mv₀=（2m+m）v₁

即                   （负号表示v₁的方向向左）

第1次碰后小车B向左匀速运动的位移等于向右匀减速运动到速度大小为v₁这段运动的位移s₁

对小车B，由动能定理得      -μ2mgs₁=mv₁²-mv₀²

解得                         s₁=  

第1次碰后小车B向左匀速运动时间                      （2分）

设第2次碰后共速为v₂，由动量守恒定律，得

mv₁－2mv₁=（2m+m）v₂

即                         

第2次碰后小车B向左匀速运动的位移等于向右匀减速运动到速度大小为v₂这段运动的位移s₂

对小车B，由动能定理得       -μ2mgs₂=m v₂²-mv₁²

解得                          s₂=  

第2次碰后小车B向左匀速运动时间

同理，设第3次碰后共速为v₃，碰后小车B向左匀速运动的位移为s₃，则由动量守恒定律，得

  

                            s₃=

第3次碰后小车B向左匀速运动时间 

由此类推，第n次碰墙后小车B向左匀速运动时间。

第1次碰墙后小车B向左匀速运动时间即B从第一次撞墙后每次向左匀速运动时间为首项为t₁，末项为t_n，公比为的无穷等比数列。即B从第一次与墙壁碰撞后匀速运动的总时间

                                         （2分）

所以，从第一次B与墙壁碰撞后运动的总时间             （1分）