Question

16．在水平光滑的绝缘平面内建立如图所示的直角坐标系，将第Ⅰ、Ⅱ象限称为区域一，第Ⅲ、Ⅳ象限称为区域二，其中区域二内有匀强电场，区域一内有大小为2×10^-2T、方向垂直水平光滑平面的匀强磁场．把一个荷质比为$\frac{q}{m}$=2×10⁸C/kg的正电荷从坐标为（0，-1）的A点处由静止释放，电荷以一定的速度从坐标为（1，0）的C点第一次经x轴进入区域一，经过一段时间，从坐标原点O第二次经x轴回到区域二．不计此电荷受到的重力．
（1）分别指出两区域中电场和磁场的方向；
（2）电荷从C点第一次经x轴进入区域一的速度大小；
（3）求电场强度的大小；
（4）电荷第三次经过x轴的位置．

Answer 1

分析 （1）由A静止释放到C的运动可知区域二是电场，区域一为磁场；由运动方向可判断电场和磁场的方向．
（2）电荷在区域二中做匀加速直线运动，进入区域一后做匀速圆周运动，由几何关系求出轨迹半径，由牛顿第二定律求解电荷的速度大小．
（3）在区域中，应用运动学公式和牛顿第二定律即可求出电场强度的大小．
（4）电荷从坐标原点O第二次经过x轴进入区域Ⅱ，速度方向与电场方向垂直，电荷在电场中做类平抛运动，在电场方向上做初速度为零的匀加速直线运动，在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，应用平抛运动的知识可求解．

解答 解：（1）区域一磁场方向垂直纸面向里，区域二电场方向由A指向C
（2）设电荷从C点进入区域一的速度为v
电荷进入区域一后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，运动轨迹如图，有：

 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$  
由题意及几何关系知：电荷的轨迹半径 r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m
据题$\frac{q}{m}$=2×10⁸ C/kg，B=2×10^-2 T
联立解得 v=2$\sqrt{2}$×10⁶m/s
（3）设电场强度的大小为E，从A到C电荷做初速度为零的匀加速直线运动，且过C点时速度方向与+x轴方向成45°角，有：
  v²=2as=2$•\frac{qE}{m}$s   
由图知：s=$\sqrt{2}$m
代入可得：E=$\sqrt{2}×1{0}^{4}$V/m
（4）电荷从坐标原点O第二次经过x轴进入区域二，速度方向与电场方向垂直，电荷在电场中做类平抛运动，设经过时间t电荷第三次经过x轴．有：
tan45°=$\frac{\frac{1}{2}a{t}^{2}}{vt}$，解得：t=2×10^-6 s
所以：x=$\frac{vt}{cos45°}$=8m
即电荷第三次经过x轴上的点的坐标为（8m，0）
答：
（1）区域一磁场方向垂直纸面向里，区域二电场方向由A指向C；
（2）电荷从C点第一次经x轴进入区域一的速度大小是2$\sqrt{2}$×10⁶m/s；
（3）电场强度的大小为$\sqrt{2}×1{0}^{4}$V/m；
（4）电荷第三次经过x轴的位置坐标为（8m，0）．

点评 粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等．解决此类问题常用的方法：画图→动态分析→找轨迹．（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难．）