Question

5．静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图所示的折线，图中φ₀和d为已知量，一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心，沿x轴方向做周期性运动，已知该粒子质量为m，电荷量为-q，其动能与电势能之和为-A（0＜A＜qφ₀），忽略重力，求：
（1）粒子所受静电力的大小；
（2）粒子的运动区间；
（3）粒子的运动周期．

Answer 1

分析 （1）由图可知，电势随x均匀变化，则可知电场为匀强电场，由电势差与电场强度的关系可求得电场强度，即可求得电场力；
（2）由题意可知，动能与电势能之和保持不变，设出运动区间为[-x，x]，由题意可知x处的电势，则由数学关系可求得x值；
（3）粒子在区间内做周期性变化，且从最远点到O点时做匀变速直线运动，则由运动学规律可求得周期．

解答 解：（1）由图可知，0与d（或-d）两点间的电势差为：U=φ₀
电场强度的大小为：E=$\frac{φ{\;}_{0}}{d}$
电场力的大小为：F=qE=$\frac{qφ{\;}_{0}}{d}$．
（2）设粒子在[-x，x]区间内运动，速率为v，由题意得：
$\frac{1}{2}$mv²-qφ=-A
由图可知：φ=φ₀（1-$\frac{|x|}{d}$）
由上解得：$\frac{1}{2}$mv²=qφ₀（1-$\frac{|x|}{d}$）-A
因动能非负，有：qφ₀（1-$\frac{|x|}{d}$）-A≥0
得：|x|≤d（1-$\frac{A}{q{φ}_{0}}$）
即：x=d（1-$\frac{A}{q{φ}_{0}}$）
粒子运动区间为：-d（1-$\frac{A}{q{φ}_{0}}$）≤x≤d（1-$\frac{A}{q{φ}_{0}}$）．
（3）考虑粒子从-x₀处开始运动的四分之一周期，根据牛顿第二定律，粒子的加速度为：
a=$\frac{F}{m}$=$\frac{qE}{m}$=$\frac{q{φ}_{0}}{md}$
由匀加速直线运动规律得：t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$
代入解得：t=$\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{q{φ}_{0}}（1-\frac{A}{q{φ}_{0}}）}$
粒子运动周期为：T=4t=4$\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{q{φ}_{0}}（1-\frac{A}{q{φ}_{0}}）}$
答：（1）粒子所受静电力的大小是$\frac{qφ{\;}_{0}}{d}$；
（2）粒子的运动区间是-d（1-$\frac{A}{q{φ}_{0}}$）≤x≤d（1-$\frac{A}{q{φ}_{0}}$）；
（3）粒子的运动周期是4$\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{q{φ}_{0}}（1-\frac{A}{q{φ}_{0}}）}$．

点评 本题难度较大，要求学生能从题干中找出可用的信息，同时能从图象中判断出电场的性质；并能灵活应用功能关系结合数学知识求解，故对学生的要求较高．