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    13．如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨，间距d=2m，Ⅰ区为一段弧形、Ⅱ区为放在桌面上的水平部分、Ⅲ区为倾斜部分，各交接处均平滑连接，仪Ⅱ、Ⅲ区存在方向垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，且B1=B2=0.2T．现有一质量m=0.02kg、电阻r=1Ω的金属杆ab，在导轨上距桌面h=0.8m的高度处由静止释放，离Ⅱ区后通过一特 殊转向装置 （图上未标出），随即进入Ⅲ区后恰能匀速下滑，不计各交接处的能所损失，电阻R=3Ω，倾角θ=37°，g=10m/s2 （sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
    （1）金属杆刚进入磁场时，电阻R两端电压大小；
    （2）经过II区过程中电阻R产生的热量；
    （3）Ⅱ区的磁场宽度x．

    分析 （1）金属杆在Ⅰ区运动时，根据动能定理求出金属杆进入磁场Ⅱ时的速度，通过切割产生的感应电动势公式求出感应电动势的大小，结合电路的结构求得电阻R两端电压．
    （2）金属杆进入Ⅲ区后恰能匀速下滑，由平衡条件和安培力与速度的关系式，求解金属杆在Ⅲ区运动的速度．根据能量守恒定律求出整个过程中回路产生的热量，从而得出经过II区过程中电阻R产生的热量．
    （3）根据牛顿第二定律和加速度的定义式得到加速度瞬时加速度的表达式，运用积分法求解Ⅱ区的磁场宽度x．

    解答 解：（1）金属杆在Ⅰ区运动时，根据动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv12-0
    可得金属杆刚进入Ⅱ区时的速度：v1=4m/s．
    感应电动势的大小为：E1=B1dv1=0.2×2×4V=1.6V
    电阻R两端电压大小 U=$\frac{R}{R+r}$E1=$\frac{3}{3+1}$×1.6V=1.2V
    （2）金属杆进入Ⅲ区后恰能匀速下滑，由平衡条件有
      F安=mgsin37°
    又 E2=B2dv2，I2=$\frac{{E}_{2}}{R+r}$，F安=B2dI2=$\frac{{B}_{2}^{2}{d}^{2}{v}_{2}}{R+r}$
    联立解得，金属杆在Ⅲ区运动的速度 v2=3m/s
    金属杆经过II区过程中整个电路产生的总热量 Q=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
    电阻R产生的热量 QR=$\frac{R}{R+r}$Q
    代入数据解得 QR=5.25×10-2J
    （3）金属杆在Ⅱ区运动过程中所受的安培力 F安=$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}v}{R+r}$
    金属杆的加速度 a=$\frac{{F}_{安}}{m}$
    根据加速度的定义有 a=$\frac{△v}{△t}$，即得△v=a△t
    整理可得△v=$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}v△t}{m（R+r）}$
    对等式两边求和得 $\sum_{\;}^{\;}$△v=$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}v△t}{m（R+r）}$
    又 $\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}}{m（R+r）}$v△t=$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}}{m（R+r）}$x
    则得 v1-v2=$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}}{m（R+r）}$x
    代入数据解得 x=0.5m
    答：
    （1）金属杆刚进入磁场时，电阻R两端电压大小是1.2V；
    （2）经过II区过程中电阻R产生的热量是5.25×10-2J；
    （3）Ⅱ区的磁场宽度x是0.5m．

    点评 本题考查了电磁感应与电路和能量的综合，关键要根据法拉第定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，运用积分法研究非匀变速运动的位移，其关键式子是牛顿第二定律和加速度的定义式．

    练习册系列答案
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    （1）a、b两棒在磁场中运动的速度大小之比；
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    18．如图所示，平行粗糙金属导轨与水平面间夹角均为θ=37°，导轨间距为L=lm，电阻不计，导轨足够长．两根金属棒ab和a′b′的质量都是m=0.2kg，电阻都是R=1Ω，与导轨垂直放置且接触良好，金属棒ab和导轨之间的动摩擦因数为μ=0.25，金属棒ab导轨平面存在着垂直轨道平面向上的匀强磁场，金属棒a′b′导轨平面存在着竖直向上的匀强磁场，磁感应强度均为B=0.4T，金属棒a′b′始终静止在导轨上，将金属棒ab由静止释放．求：
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    （2）棒a′b′和导轨间最小摩擦力；
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    5．如图所示，宽为L=2m、足够长的金属导轨MN和M′N′放在倾角为θ=30°的斜面上，在N和N′之间连有一个阻值为R=1.2Ω的电阻，在导轨上AA′处放置一根与导轨垂直、质量为m=0.8kg、电阻为r=0.4Ω的金属滑杆，导轨的电阻不计．用轻绳通过定滑轮将电动小车与滑杆的中点相连，绳与滑杆的连线平行于斜面，开始时小车位于滑轮的正下方水平面上的P处（小车可视为质点），滑轮离小车的高度H=4.0m．在导轨的NN′和OO′所围的区域存在一个磁感应强度B=1.0T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场，此区域内滑杆和导轨间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，此区域外导轨是光滑的．电动小车沿PS方向以v=1.0m/s的速度匀速前进时，滑杆经d=1m的位移由AA′滑到OO′位置．（g取10m/s2）求：
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    （1）小球运动到最低点时的速度大小；
    （2）在最低点时，小球对细线的拉力．

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    （1）求电场强度E的大小；
    （2）若给小球一沿切线方向的瞬时初速度，小球便在圆环内运动，为使小球能在圆环上做完整的圆周运动，这个速度至少为多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

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