Question

14．质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为E_p=-$\frac{GMm}{r}$，其中G为引力常量，M为地球质量．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．某卫星原来在半径为r_l的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为r₂，则此过程中因摩擦而产生的热量为（　　）

• A． mgR²（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$）
• B． mgR²（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）
• C． $\frac{mg{R}^{2}}{2}$（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$）
• D． $\frac{mg{R}^{2}}{2}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）

Answer 1

分析 求出卫星在半径为R₁圆形轨道和半径为R₂的圆形轨道上的动能，从而得知动能的减小量，通过引力势能公式求出势能的增加量，根据能量守恒求出热量．

解答 解：卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，即$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，则轨道半径为r₁时：$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$，依题意其引力势能为${E}_{P1}=-\frac{GMm}{{r}_{1}}$，
轨道半径为r₂时：$G\frac{Mm}{{{r}_{2}}^{2}}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$，引力势能为${E}_{P2}=-\frac{GMm}{{r}_{2}}$，
设摩擦而产生的热量为Q，根据能量守恒定律得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+{E}_{P1}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+{E}_{P2}+Q$
联立得：Q=$\frac{mg{R}^{2}}{2}$（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$），故C正确．
故选：C

点评 本题是信息题，要读懂引力势能的含义，建立卫星运动的模型，根据万有引力定律和圆周运动的知识、能量守恒定律结合求解．