Question

在如图甲所示的空间里，存在垂直纸面向里即水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=

2πm

q

，在竖直方向存在如图乙所示交替变化的电场（竖直向上为正），电场强度E₀大小为，空间中有一倾角为θ的足够长的光滑绝缘斜面，斜面上有一质量为m，带电荷量为-q的小球，从t=0时刻由静止开始沿斜面下滑，设第7s内小球不会离开斜面，重力加速度为g，求：
（1）第2s末小球速度υ₂的大小；
（2）前8s内小球通过的路程L；
（3）若第19s末小球仍未离开斜面，θ角应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）第一秒内，重力和电场力向下，磁场力垂直向上，支持力也是垂直向上，合力等于重力和电场力的平行斜面分力，根据牛顿第二定律求解出加速度，求解出1s末速度，然后做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力求解出周期，得到前两秒的运动规律．
（2）2s为一个周期，奇数秒内做匀加速直线运动，偶数秒内做匀速圆周运动；根据初速度为零的匀加速直线运动的第1s、第2s、第3s位移之比为1：3：5，得到奇数秒内的位移；根据匀速圆周运动半径公式r=

mv

qB

得到半径与速度成正比；最后求解总路程．
（3）第19s末小球仍未离开斜面，说明磁场力的垂直分力大于重力和电场力的垂直斜面分力之和．

解答：解：（1）第一秒内小球受到竖直向下的重力mg和电场力qE₀作用，在斜面上以加速度a做匀加速运动．由牛顿第二定律得：（mg+qE₀）sinθ=ma       
第一秒末小球的速度：υ₁=at₁=2gsinθ           
第二秒内电场力反向：且满足qE₀=mg          
第二秒内小球受到洛伦兹力作用将离开斜面以υ₁做半径为R₂的匀速圆周运动．
由向心力公式得：qυ₁B=m

v2

r

小球做匀速圆周运动周期：T=

2πm

qB

=1s   
结合题图可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜面恰好做完整的圆周运动，小球运动轨迹如图所示．
小球第2s末的速度：υ₂=υ₁=at₂=2gsinθ            
（2）第3s末小球速度：υ₃=a（t₁+t₃）=4gsinθ
第5s末速度：υ₅=a（t₁+t₃+t₅）=6gsinθ
第7s末速度：υ₇=a（t₁+t₃+t₅+t₇）=8gsinθ
第2s内小球做圆周运动的半径：R₂=

mv2

qB

第4s内小球做圆周运动的半径：R₄=

mv3

qB

第6s内小球做圆周运动的半径：R₆=

mv5

qB

第8s内小球做圆周运动的半径：R₈=

mv7

qB

第1s内小球做匀加速直线运动的路程：s₁═

1

2

×2gsinθ×t2=gsinθ
第2s内小球做匀速圆周运动的路程：s₂=2πR₂=2gsinθ
0～8s内小球做匀加速直线运动的总路程：L₁=s₁+3s₁+5s₁+7s₁=16s₁=16gsinθ        
0～8s内小球做匀速圆周运动的总路程：L₂=s₂+s₄+s₆+s₈=s₂+2s₂+3s₂+4s₂=10s₂=20gsinθ 
前8s内小球通过的路程：L=L₁+L₂=36gsinθ                                     
（3）第19s末仍在斜面上，则有：υ₁₉=a（t₁+t₃+t₅+t₇+t₉+t₁₁+t₁₃+t₁₅+t₁₇+t₁₉）=10a=20gsinθ    
且19s末小球所受洛伦兹力Bqυ₁₉、重力mg和电场力qE₀作用，应满足：
Bqυ₁₉≤（mg+qE₀）cosθ        
解得：tanθ≤

1

20π

答：（1）第2s末小球速度υ₂的大小为2gsinθ；
（2）前8s内小球通过的路程L为36gsinθ；
（3）若第19s末小球仍未离开斜面，θ角应满足的条件为：tanθ≤

1

20π

．

点评：本题关键是明确带电粒子的运动规律并画出运动轨迹，知道奇数秒内粒子做匀加速直线运动，偶数秒内粒子做匀速圆周运动．