Question

5．在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论．如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的指点，选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角α=30°，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m．不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深．取中立加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6 
（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；
（2）若绳长l=2m，选手摆到最高点时松手落入手中．设水碓选手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求选手落入水中的深度d； 
（3）若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点．

Answer 1

分析 （1）选手在摆动过程中，机械能是守恒的，应用机械能守恒定律求出运动到最低点时的速度．再用牛顿运动定律结合圆周运动的向心力求出绳子对选手的拉力，最后用牛顿第三定律求出选手对绳子的拉力F．
（2）对从选手开始下落，到进入水后速度为零的过程中，由贯穿整个过程的重力做正功，进入水后，浮力和阻力最选手做负功，选手初末状态的动能都为零，用动能定理列式，求出落入水中的深度；
（3）对平抛运动沿水平和竖直两个方向进行分解，水平方向上是匀速直线运动，竖直方向上时自由落体运动，分别列出位移式子，联立后进行数学分析，得出当l=1.5m时，水平方向有最大值．再说明自己的观点．

解答 解：（1）选手摆到最低点的过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律得：
mgl（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{2gl（1-cosα）}$
在最低点，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得：F=mg（3-2cosα）=60×10×（3-2×cos53°）N=1080N
由牛顿第三定律可知，人对绳子的拉力：F′=F=1080N；
（2）选手摆到右边最高点时松手，选手将做自由落体运动，对整个过程，由动能定理得：
mg（H-lcosα+d）-（f₁+f₂）d=0
解得：d=1.2m
（3）选手从最低点松手后开始做平抛运动
在水平方向：x=vt，
竖直方向：H-l=$\frac{1}{2}$gt²，
由第1题有：v=$\sqrt{2gl（1-cosα）}$
联立得：x=2$\sqrt{l（H-l）（1-cos53°）}$
根据数学知识可知当l=H-l时，x有最大值，则此时l=$\frac{H}{2}$=1.5m
因此，两人的看法均不正确．当绳长越接近1.5m 时，落点距岸边越远．
答：（1）选手摆到最低点时对绳拉力的大小是1080N．
（2）选手摆到右边最高点时松手，选手将做自由落体运动，选手落入水中的深度d是1.2m；
（3）两人的看法均不正确．当绳长越接近1.5m 时，落点距岸边越远．

点评 本题考查到了圆周运动向心力、平抛运动规律及求极值问题．解答第一问时，一定注意要求的是选手对绳子的拉力．解题过程中是对选手进行受力分析的，故不要忘记应用牛顿第三定律．关于物理当中的极值问题，要会熟练的对式子进行数学分析，从而得出结论．