如图所示.在x≥O的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场.磁感应强度的大小为B.方向垂直于纸面朝里．假设一系列质量为m.电荷量为q的正离子初速度为零.经过加速电场加速后从O点沿Ox轴正方向进人匀强磁场区域．有一块厚度不计.高度为d的金属板竖直放置在磁场中.截面如图.M.N分别为金属板截面的上.下端点.M点的坐标为.N点的坐标为(d.d)．不计正离子的重力� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013?河南模拟）如图所示，在x≥O的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面朝里．假设一系列质量为m、电荷量为q的正离子初速度为零，经过加速电场加速后从O点沿Ox轴正方向进人匀强磁场区域．有一块厚度不计、高度为d的金属板竖直放置在磁场中，截面如图，M、N分别为金属板截面的上、下端点，M点的坐标为（d，2d），N点的坐标为（d，d）．不计正离子的重力．
（1）加速电场的电压在什么范围内，进入磁场的离子才能全部打在金属板上？
（2）求打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值？（sin37°=0.6cos37°=0.8）

分析：求出恰好打到N点时的半径，在求出恰好打到M点的半径，中间的数据就是所求的电压范围；分别求出打到M点时的最长时间和打到N点时的最短时间，然后求比值即可．

解答：

解：（1）设加速电压为U，正离子初速度为零，经过加速电场加速，根据动能定理得：
qU=

mv2
正离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
qvB=

mv2

2mqU

当加速电压较小时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小，当离子恰好打到金属板下端点N点时，圆周运动的半径最小为R_min，如图1
根据几何知识可以判断R_min=d
故：U_min=

qB2d2

当加速电压较大时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较大，当离子恰好打到金属板上端点M点时，圆周运动的半径最大为Rmax，如图2
根据几何知识判断：R_max²=d²+（2d-R_min）²
解得R_max=

d
所以U_max=

25qB2d2

32m

所以离子能全部打在金属板上，加速电压的取值范围为：

qB2d2

≤U≤

25qB2d2

32m

（2）设离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据圆周运动规律得：
T=

2πR

①
又qvB=

mv2

②
联立①②解得T=

2πm

离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关．
离子在图1中所示的轨迹中运动时间最短为
t_min=

T
离子在图2所示的轨迹中运动时间最长为：
t_max=

90°+θ

360°

根据几何知识：cosθ=

rmax

则：θ=37°
所以

tmin

tmax

127

答：（1）加速电场的电压在为：

qB2d2

≤U≤

25qB2d2

32m

范围内，进入磁场的离子才能全部打在金属板上，
（2）打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值为

127

．

点评：此题考查离子在匀强磁场中的运动情况，属于高考常见题目，要加强联系，难度适中．

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