Question

如图所示，AB为半径R=0.8m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M=3kg，车长L=2.06m，车上表面距地面的高度h=0.2m．现有一质量m=1kg的滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.3，当车运行了1.5s时，车被地面装置锁定．（g=10m/s²）试求：
（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小；
（4）滑块落地点离车左端的水平距离．

Answer 1

分析：（1）由机械能守恒定律求出滑块到B端的速度，由牛顿第二定律求出支持力．
（2）根据牛顿第二定律分别求出滑块和小车的加速度，由运动式求出两者速度相同经过的时间，确定两者的运动情况．再求解车右端距轨道B端的距离．
（3）求出滑块相对于小车的位移△x，由内能E=μmg△x求出内能．
（4）滑块滑出小车后做平抛运动，求出滑块滑到A端的速度和平抛的时间，求解滑块落地点离车左端的水平距离．

解答：解：（1）设滑块到达B端时速度为v，
        由机械能守恒定律，得mgR=

1

2

mv²                                      
        由牛顿第二定律，得F_N-mg=m

v2

R

     联立两式，代入数值解得：F_N=3mg=30N．
   （2）当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得
       对滑块有：-μmg=ma₁
       对小车有：μmg=Ma₂
      设经时间t两者达到共同速度，则有：v+a₁t=a₂t
           解得t=1 s．                                                         
      由于1 s＜1.5 s，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：v′=a₂t=1 m/s 两者一起匀速运动，直到小车被锁定．     
     故车被锁定时，车右端距轨道B端的距离：x=

1

2

a₂t²+v′t′=1 m．
   （3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离
△x=

v+v′

2

t-

1

2

a₂t²=2 m                                            
     故产生的内能：E=μmg△x=6 J．
   （4）对滑块由动能定理，得-μmg（L-△x）=

1

2

mv″²-

1

2

mv′²             
       滑块脱离小车后，在竖直方向有：h=

1

2

gt″²                             
      故滑块落地点离车左端的水平距离：x′=v″t″=0.16 m．
答：（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小为30N．
    （2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离为1m．
    （3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小为6J．
    （4）滑块落地点离车左端的水平距离为0.16m．

点评：本题之处在于分析滑块和小车速度相同所经历的时间，与1.5s进行比较来分析两者的运动情况．求摩擦生热Q=f△x，△x是相对位移．