Question

20．如图所示，截面为△ABC的三棱柱静止在水平面上，∠CAB=θ．第一种情况让小球在C点以初速度v₀水平抛出，三梭柱固定不动，则小球恰好能落在边的中点D，第二种情况是在小球以初速度水平抛出的同时，使三棱柱获得一个大小为$\frac{{v}_{0}}{n}$的水平速度而向右匀速运动，小球恰好能落到三棱柱上的A点，重力加速度大小为g．求：
（1）第一种情况下小球从抛出到落到D点的时间；
（2）第二种情况下小球落到A点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据高度求出平抛运动的时间的表达式，结合水平位移和时间关系求出时间；
（2）根据小球下降的高度求出运动的时间，结合平抛运动的特点求出小球落到A点时的速度大小．

解答 解：（1）设C点的高度为h，则小球到达D时，下落的高度是$\frac{1}{2}$h，根据$\frac{1}{2}$h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
${t}_{1}=\sqrt{\frac{\frac{h}{2}×2}{g}}=\sqrt{\frac{h}{g}}$，
水平方向：$x=\frac{\frac{1}{2}h}{tanθ}={v}_{0}{t}_{1}$
联立得：${t}_{1}=\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$
（2）三棱柱向右运动时，小球下落的时间为：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
水平方向：$\frac{h}{tanθ}=（1+\frac{1}{n}）{v}_{0}{t}_{2}$
竖直方向的分速度：v_y=gt₂
合速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
联立得：$v=\frac{{v}_{0}}{n}•\sqrt{{n}^{2}+4（n+1）^{2}ta{n}^{2}θ}$
答：（1）第一种情况下小球从抛出到落到D点的时间是$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$；
（2）第二种情况下小球落到A点时的速度大小是$\frac{{v}_{0}}{n}•\sqrt{{n}^{2}+4{（n+1）}^{2}ta{n}^{2}θ}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，难度适中．