Question

4．如图所示，质量M=2kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，m用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m=1.6kg的物体相连，m悬于空中与M都处于静止状态，假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最大静摩擦力为其重力的0.6倍，试问：
（1）M受到的静摩擦力最小时，平台转动的角速度ω₀为多大？
（2）要保持M与平台相对静止，M的线速度的范围？

Answer 1

分析 （1）物体A与圆盘保持相对静止且不受摩擦力时，绳子的拉力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出；
（2）当此平面绕中心轴线以角速度ω转动时，若M恰好要向里滑动时，ω取得最小值，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向外，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑动时，ω取得最大值，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向里，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供M 所需要的向心力．根据牛顿第二定律分别求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范围．

解答 解：（1）物体A与圆盘保持相对静止且不受摩擦力时，绳子的拉力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg=${Mω}_{0}^{2}r$
带入数据得：ω₀=4rad/s
（2）设此平面角速度ω的最小值为ω₁，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向外，则由牛顿第二定律得：
$T-{f}_{max}={mω}_{1}^{2}r$，
又T=mg
联立得：mg-f_max=M${ω}_{1}^{2}$r，
代入数据解得：ω₁=2rad/s
设此平面角速度ω的最大值为ω₂，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向里，则由牛顿第二定律得：
T+f_max=M${ω}_{2}^{2}$r，
又T=mg
代入解得：ω₂=$2\sqrt{7}$rad/s
故为使m处于静止状态，角速度ω的何值范围为：2rad/s≤ω≤$2\sqrt{7}$rad/s．
答：（1）物体A与圆盘保持相对静止且不受摩擦力时，平台的角速度是4rad/s；
（2）为使物体A与圆盘相对静止，圆盘匀速转动的角速度的大小范围为2rad/s≤ω≤$2\sqrt{7}$rad/s．

点评 本题是圆周运动中临界问题，抓住当M恰好相对此平面滑动时静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律求解角速度的取值范围．